[論文レビュー] Travelling wave solutions to nonlinear Schrodinger equation with self-steepening and self-frequency shift

Anshul Saini, Vivek M. Vyas+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2009

Nonlinear Photonic Systems参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、自己自己圧縮および自己周波数シフトを含む高次の非線形シュレーディンガー方程式に対する正確な移動波解を導出しており、強度ダイナミクスがソース項を伴う非線形シュレーディンガー方程式に従うことを示している。主な結果として、群速度分散に依存するクローリング性を示すスーパーライトおよびサブライトのソリトン（明線および暗線）の両方の発見が含まれる。特に、高次の非線形性のおかげで、暗線ソリトンはゼロでない速度で伝播する。

ABSTRACT

We investigate exact travelling wave solutions of higher order nonlinear Schrodinger equation in the absence of third order dispersion, which exhibit non-trivial self phase modulation. It is shown that, the corresponding dynamical equation, governing the evolution of intensity in the femtosecond regime, is that of non-linear Schrodinger equation with a source. The exact localized solutions to this system can have both super and subluminal propagation belonging to two distinct class. A number of these solitons exhibit chirality, thereby showing preferential propagation behavior determined by group velocity dispersion. Both localized bright and dark solitons are found in complementary velocity and experimental parameter domains, which can exist for anomalous and normal dispersion regimes. It is found that, dark solitons in this system propagate with non-zero velocity, unlike their counterpart in nanosecond regime. Interestingly, subluminal propagation is observed for solitons having a nontrivial Pade type intensity profile.

研究の動機と目的

• 自己圧縮および自己周波数シフト効果を含む高次の非線形シュレーディンガー方程式の正確な移動波解を調査すること。
• 特にソース項を伴う非線形シュレーディンガー方程式との関係を考慮して、フェムト秒領域における強度ダイナミクスの動的挙動を分析すること。
• 異常分散および正常分散領域における明線および暗線ソリトンの存在および性質を調査すること。
• クローリングおよび群速度分散が、暗線ソリトンの方向性で非ゼロ速度伝播を可能にする役割を特定すること。
• 特にコンformal変換を介して、サブライトおよびスーパーライトのソリトン解が出現するパラメータ領域を同定すること。

提案手法

• 変数のスケーリングを用いて、自己圧縮（$ b_2 $ を通じて）および自己周波数シフト（$ b_3, b_4 $ を通じて）を組み込んだ高次の非線形シュレーディンガー方程式の次元なし形式を導出する。
• 場の式を、ソース項を伴う非線形シュレーディンガー方程式の形に一致する強度ダイナミクス式に変換する。
• 移動波アンザッツを適用し、第一積分法を用いて系を二次非線形常微分方程式に簡略化する。
• 分数線形変換（$ \sigma = \frac{A + Bf^2}{C + Df^2} $）を用いて、ODEを既知の可積分形（例えば修正KdVおよびKdV方程式）に写像する。
• Painlevé解析を用いて可積分性条件を検証し、ヤコビ楕円関数を用いた解を導出する。
• 有界（振動的）および非有界（双曲的）解の分離子を分析し、ソリトンおよび周期的波動の挙動を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己圧縮および自己周波数シフトは、フェムト秒領域における光ソリトンの伝播ダイナミクスにどのように影響するか？
• RQ2 強度ダイナミクスにおけるソース項を伴う高次の非線形シュレーディンガー方程式に対して、正確な明線および暗線ソリトン解を導出可能か？
• RQ3 ソリトンのクローリング挙動は何かを決定するのか？また、群速度分散および $ a_1 $ の符号にどのように依存するか？
• RQ4 なぜこの系では標準的なNLSEフレームワークとは異なり、暗線ソリトンがゼロでない速度で伝播するのか？
• RQ5 サブライトおよびスーパーライトのソリトン解が出現する条件は何か？また、それらはコンformal変換によってどのように関連づけられるか？

主な発見

• この系の強度ダイナミクスは、ソース項を伴う非線形シュレーディンガー方程式に従い、標準的な可積分NLSEと類似したソリトン的挙動を強度波に示す。
• 明線ソリトンはスーパーライト速度で伝播するが、暗線ソリトンはゼロでない速度で伝播する。これは、標準的なNLSEフレームワークには見られない挙動である。
• 暗線ソリトンは群速度分散パラメータ $ a_1 $ の符号に依存するクローリング性を示し、異常分散および正常分散領域で異なるクローリング挙動を示す。
• 非自明な $ \text{Pad}\acute{\text{e}} $-型の強度プロファイルを示す解はサブライト伝播を示しており、強度形状と群速度との直接的な関連を示唆する。
• この系の分離子は、有界（周期的）および非有界（双曲的）解を分離しており、可積分性の可能性およびKdV型ダイナミクスとの関連を示唆する。
• コンformal変換を用いることで、より一般化された局在解が得られ、サブライトおよびスーパーライト伝播を支持するようになり、実験的実現に向けたアクセス可能なパラメータ空間が拡張される。