[論文レビュー] Triangle Tiling IV: A non-isosceles tile with a 120 degree angle

Michael Beeson|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2012

Mathematics and Applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、120°の角を持つ非二等辺三角形のタイルと、それとは相似でない三角形ABCによるNタイリングを検討する。代数的数論、線形代数、幾何的制約を用いて、このようなNタイリングが存在する場合、タイルの最小角はπの有理数倍にはなり得ず、c² = a² + b² + abを満たす整数辺長を持つ必要があり、辺の間に少なくとも1つの線形辺関係が存在する必要があることを証明する。

ABSTRACT

An N-tiling of triangle ABC by triangle T is a way of writing ABC as a union of N trianglescongruent to T, overlapping only at their boundaries. The triangle T is the tile. The tile may or may not be similar to ABC. We wish to understand possible tilings by completely characterizing the triples (ABC, T, N) such that ABC can be N-tiled by T. In particular, this understanding should enable us to specify for which N there exists a tile T and a triangle ABC that is N-tiled by T; or given N, determine which tiles and triangles can be used for N-tilings; or given ABC, to determine which tiles and N can be used to N-tile ABC. This is one of four papers on this subject. In this paper, we take up the last remaining case: when ABC is not similar to T, and T has a 120 degree angle, and T is not isosceles (although ABC can be isosceles or even equilateral). Here is our result: If there is such an N-tiling, then the smallest angle of the tile is not a rational multiple of \pi. In total there are six tiles with vertices at the vertices of ABC. If the sides of the tile are (a,b,c), then there must be at least one edge relation of the form jb = ua + vc or ja = ub + vc, with j, u, and v all positive. The ratios a/c and b/c are rational, so that after rescaling we can assume the tile has integer sides, which by virtue of the law of cosines satisfy c^2 = a^2 + b^2 + ab. A simple unsolved specific case is when ABC is equilateral and (a,b,c) = (3,5,7). The techniques used in this paper, for the reduction to the integer-sides case, involve linear algebra, elementary field theory and algebraic number theory, as well as geometrical arguments. Quite different methods are required when the sides of the tile are all integers.

研究の動機と目的

• 三角形ABCが非二等辺のタイルTでNタイリングされ、Tに120°の角があるような三つ組 (ABC, T, N) を完全に特徴付けること。
• ABCがTと相似でない場合に、このようなタイリングが存在するためのNの値を特定すること。
• 特に角の有理化可能性と辺関係に注目し、タイルの辺長と角に必要な条件を特定すること。
• 三角形タイリング論文シリーズにおける最後の未解決事例を解決すること：相似でなく、非二等辺のタイルに120°の角を持つもの。

提案手法

• スケーリングと正弦定理を用いてタイルを整数辺長に還元し、c² = a² + b² + abの式に到達する。
• 初等体論および代数的数論を応用して角の有理化可能性と幾何的制約を分析する。
• 線形代数を用いてタイルの辺間の辺関係をモデル化し、正の整数j, u, vを用いてjb = ua + vcまたはja = ub + vcの形の少なくとも1つの関係が成立する必要があることを示す。
• 幾何的解析により、ABCの頂点に頂点を持つタイルは正確に6個であることを示す。
• 代数的制約と幾何的タイリング構成を統合して、不可能なケースを除外する。
• 辺関係と辺比の体系的検討により、Nタイリングの存在に必要な条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数Nについて、120°の角を持つ非二等辺タイルTと、Tと相似でない三角形ABCが存在し、ABCがTによってNタイリング可能となるのはどのような場合か？
• RQ2 このようなNタイリングが可能となるためのタイルの辺長(a, b, c)が満たすべき条件は何か？
• RQ3 このようなタイリングにおいて、タイルの最小角がπの有理数倍であることは可能か？
• RQ4 jb = ua + vcのような線形辺関係が、このようなタイリングの実現を可能にするか、あるいは不可能にするか、果たす役割は何か？
• RQ5 正三角形ABCを、辺長が(3, 5, 7)で120°の角を持つタイルでNタイリングすることは可能か？

主な発見

• 非二等辺のタイルTが120°の角を持ち、ABCがTと相似でないNタイリングが存在する場合、Tの最小角はπの有理数倍にはなり得ない。
• スケーリング後にタイルは整数辺長を持つ必要があり、ディオファントス方程式c² = a² + b² + abを満たす必要がある。
• 正の整数j, u, vを用いて、jb = ua + vcまたはja = ub + vcの形の少なくとも1つの辺関係が成立しなければならない。
• a/cおよびb/cの比は有理数であるため、タイルは整数辺長にスケーリング可能である。
• タイリングにおいて、正確に6つのタイルが三角形ABCの頂点に頂点を持つ。
• 正三角形ABCが(3,5,7)のタイルで120°の角を持つものによってNタイリング可能かどうかのケースは未解決のままであるが、導出された条件を満たしている。