[論文レビュー] Triangulated categories of motives in positive characteristic

Shane Kelly|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 60

ひとこと要約

本稿は正標数におけるスキーム上のモチーフの三角圏を構成し、cdhおよびℓdh位相の比較、モチーフコホモロジーにおけるトレース、およびベースチェンジおよび射影バンドルにおける双変サイクルコホモロジーの性質といった基礎的性質を確立する。主な貢献は、指数的特徴量を逆数化した後に双変サイクルコホモロジーにおけるホモトピーおよびススペンション同型を証明することであり、これはフレイダーランド＝ヴォエバドスキーの古典的結果を正標数へと拡張するものである。

ABSTRACT

This thesis presents a way to apply this theorem of Gabber to a large portion of Voevodsky's work in order to lift the assumption that resolution of singularities holds. This gives unconditional versions of many of his and others' theorems provided we work Z[1/p] linearly, where p is the exponential characteristic of the base field. One example of the many applications we give is a partial answer to a 1980 conjecture of Weibel. Another is the removal of the hypothesis of resolution of singularities from a result of Suslin that compares Bloch's higher Chow groups and etale cohomology. Voevodsky's main tool in applying resolution of singularities is the cdh topology. We enlarge it slightly in order to apply this theorem of Gabber, presenting in this thesis a topology that we name the ldh topology, where l is a prime. We compare the cdh and ldh topologies using the concept of a "presheaf with traces", providing conditions under which the cdh and ldh sheafifications of a presheaf agree, as well as its cdh and ldh cohomologies. As far as applying resolution of singularities to motives goes, Voevodsky's most important theorem can be rephrased as a cdh descent condition, and we are led to ask for conditions under which certain objects in the Morel-Voevodsky stable homotopy category satisfy ldh descent. In order to compare cdh and ldh descent, we generalise the notion of a "presheaf with traces" to the concept of an "object with traces". We build on some results of Pelaez on the functoriality of the slice filtration to show that this concept of an "object with traces" interacts well enough with the slice filtration to provide the ldh descent that we need.

研究の動機と目的

• 正標数におけるスキーム上の三角モチーフ圏を構築・研究し、ヴォエバドスキーの枠組みを正標数の設定へと拡張すること。
• モチーフコホモロジーにおいてcdhとℓdh位相の比較を確立し、正標数におけるトレースと移動の利用を可能にすること。
• 指数的特徴量を逆数化した後に双変サイクルコホモロジーにおけるホモトピー不変性およびススペンション同型を証明し、フレイダーランド＝ヴォエバドスキーの結果を一般化すること。
• 安定ホモトピー2関手の文脈においてスライスフィルトレーションとトレースを分析し、モチーフコホモロジー計算のための道具を提供すること。
• 相対的サイクルの特異点解消を解決し、モチーフ圏における負のK理論の消失を証明し、シュスリンの結果を正標数へと拡張すること。

提案手法

• cohomology理論の比較と層化結果の確立のために、cdh位相の強化としてℓdh位相を用いる。
• トレースと移動を伴う前層の理論を適用し、モチーフコホモロジーとコンパクト台付きエタールコホモロジーを関連付ける。
• 相対サイクル複体 $ z_{equi}(X, r) $ を用いて双変サイクルコホモロジーを定義し、その関手的性質を研究する。
• ペラエスの定理（スライスフィルトレーションの関手的性質）を適用し、モチーフ圏の構造を分析する。
• 局所化技法と三角圏における整数の逆数化を用いて、指数的特徴量を逆数化した後の同型を証明する。
• 局所的・グローバル的ステートメントの還元のため、$ bZ[S^{-1}] $-局所対象および$ bZ_{( ext{prime})} $-局所化を用いた局所的・グローバル原理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点解消が失敗する正標数において、どのようにして三角モチーフ圏を構築し、研究できるか？
• RQ2 モチーフコホモロジーにおいてcdhとℓdh位相の関係は何か？ そして、これは層化やコホモロジー計算にどのように影響を与えるか？
• RQ3 正標数における双変サイクルコホモロジーに対して、ホモトピー不変性およびススペンション同型はどの程度成立するか？
• RQ4 モチーフ安定ホモトピー圏におけるトレースと移動はどのように振る舞い、モチーフコホモロジーとエタールコホモロジーを結びつけるためにどのように利用できるか？
• RQ5 正標数の体上のモチーフ圏における負のK理論はどのように振る舞うか？

主な発見

• 本稿は、代数的に閉じた体の正標数 $ p $ における等次元的で準射影的スキーム $ X $ に対して、$ m $ が $ p $ と素であれば、$ bZ/m $-係数の高次チャウ群がコンパクト台付きエタールコホモロジーと同型であることを証明し、シュスリンの結果を一般化する。
• 双変サイクルコホモロジーが指数的特徴量 $ p $ を逆数化した後にホモトピー不変性を満たすことを確立し、$ A_{r,i}(Y,X)[1/p] \to A_{r+1,i}(Y,X\times\bbA^1)[1/p] $ が同型であることを示す。
• 指数的特徴量 $ p $ を逆数化した後に、双変サイクルコホモロジーにおけるススペンションおよびコススペンション同型を証明し、$ A_{r+1,i}(Y,X\times\bbP^1)[1/p] \to A_{r+1,i}(Y,X)[1/p] \times A_{r,i}(Y,X)[1/p] $ が同型であることを示す。
• 指数的特徴量 $ p $ を逆数化した後に、双変コホモロジーにおけるギジン写像のための標準的長完全系列を確立し、滑らかなスキームのための局所化系列を一般化する。
• 指数的特徴量を逆数化した後に、スキームの負のK理論がモチーフ圏において消失することを証明し、ヴォエバドスキーの結果を拡張する。
• スライスフィルトレーションが安定モチーフホモトピー圏におけるトレースと移動と整合することを示し、モチーフコホモロジー計算のための枠組みを提供する。