[論文レビュー] Trilinear maps for cryptography II

Ming-Deh A. Huang|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2018

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Weil降下を用いて、より高い次元の降下多様体に写像を埋め込むことで、安全性を向上させるアーベル多様体上の暗号的に安全な三重線形写像を提案する。トラップドア降下基底とアフィンモデルを活用することで、効率的な計算と公開された身元検証を可能にするとともに、射影的構成に対する既知の攻撃に耐性を持つ。

ABSTRACT

We continue to study the construction of cryptographic trilinear maps involving abelian varieties over finite fields. We introduce Weil descent as a tool to strengthen the security of a trilinear map. We form the trilinear map on the descent variety of an abelian variety of small dimension defined over a finite field of a large extension degree over a ground field. The descent bases, with respect to which the descents are performed, are trapdoor secrets for efficient construction of the trilinear map which pairs three trapdoor DDH-groups. The trilinear map also provides efficient public identity testing for the third group. We present a concrete construction involving the jacobian varieties of hyperelliptic curves.

研究の動機と目的

• 有限体上のアーベル多様体を用いて、暗号的に安全な三重線形写像を構築すること。
• Weil降下を適用して、基盤となるアーベル多様体の有効次元を増加させることで、安全性を強化すること。
• 降下基底にトラップドア秘密を埋め込むことで、3つの群すべてで離散対数問題が困難であることを保証すること。
• 三重線形写像を用いて、3番目の群に対して効率的な公開身元検証を可能にすること。
• 写像と多様体にのみアフィン表現を用いることで、射影的モデルに対する既知の攻撃に耐性を持つこと。

提案手法

• Weil降下が、大きな拡張体 $ K $ 上の次元が小さいアーベル多様体 $ A $ に適用され、基底体 $ k $ 上で定義される降下多様体 $ \tilde{A} $ を得る。ここで $ \dim \tilde{A} = dg $ であり、$ d = [K:k] $ である。
• 三重線形写像は $ \tilde{A}[\rho] $ 上に構築され、3つの群 $ G_1, G_2, G_3 $ を含む。ここで $ G_3 $ は $ \bbF_\rho $-代数モジュールの商 $ U_1/U $ として構成される。
• 写像は $ (x\tilde{D}_\beta, yD_\beta, z+U) \to \rho^{xyz} $ として定義され、ここで $ \rho = E(\tilde{D}_\beta, D_\beta) $ であり、$ E $ はWeilペアリングである。
• 降下基底がトラップドア秘密として用いられる：公開されないが、ペアリングおよび群演算の効率的構築を可能にする。
• 写像と多様体にのみアフィンモデルが用いられ、攻撃者が構造を露呈する可能性があるグローバルな降下記述を避ける。
• $ G_3 $ の要素のスパース符号化が用いられ、三重線形写像の効率的評価を保証する。代表元は基底写像 $ \rho_i $ のスパース線形結合として選ばれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的モデルに対する既知の攻撃に耐性を持つように、Weil降下を用いてアーベル多様体上に安全な三重線形写像を構築できるか？
• RQ2 降下基底が秘密に保たれている場合、公開された三重線形写像と群要素があっても、$ G_3 $ における離散対数問題は困難であるか？
• RQ3 公開された三重線形写像と $ \tilde{A}[\rho] $ 上のサンプル点から、降下多様体 $ \tilde{A} $ を効率的に再構築できるか？
• RQ4 写像と多様体にのみアフィンモデルを用いることで、射影的モデルの同次多項式表現を狙う攻撃を防げるか？
• RQ5 三重線形写像を用いて、群構造を露呈させることなく、$ G_3 $ に対して効率的な公開身元検証を実装できるか？

主な発見

• スパース符号化とアフィンモデルの使用により、三重線形写像は効率的に計算可能であり、$ E(xD'_\beta, \rho(\text{enc}(z))(yD_\beta)) = \rho^{xyz} $ の実用的評価が可能である。
• 公開された三重線形写像と群要素から降下基底が回復できないという仮定の下で、$ G_3 $ における離散対数問題は安全である。
• 写像がグローバルな降下記述を含まず、アフィンモデルでのみ定義されているため、射影的表現を狙う攻撃に対して耐性を持つ。
• 三重線形写像は、群構造を露呈させることなく、$ G_3 $ に対する効率的な公開身元検証を可能にする。ここで $ z+U $ はペアリングを用いて検証される。
• 基底体 $ k $ 上に定義される降下多様体 $ \tilde{A} $ は、降下基底が分かっていない限り、公開データから効率的に再構築できないため、セキュリティが保たれる。
• $ \bbF_\rho $-代数とスパース代表元の使用により、次元 $ dg $ が増加しても写像の効率性が維持される。