[論文レビュー] Triviality and Split of Vector Bundles on Rationally Connected Varieties

Xuanyu Pan|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン・ホッホ条件を満たす有理曲線の族を用いて、有理的連結な多様体上のベクトル bundle の新しい自明性基準を確立し、その bundle がすべての有理曲線に制限されて自明であれば、その bundle が自明であることを証明する。さらに、同型空間上のベクトル bundle がすべてのシューベルト直線に制限されて自明であるときかつそのときに限り自明であることを示し、これにより、古典的グラスマンニアンおよび二次曲面における低ランクの一様ベクトル bundle の分解基準を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we give a simple proof of a triviality criterion due to I.Biswas and J.Pedro and P.Dos Santos. We also prove a vector bundle on a homogenous space is trivial if and only if the restrictions of the vector bundle to Schubert lines are trivial. Using this result and Chern classes of vector bundles, we give a general criterion of a uniform vector bundle on a homogenous space to be splitting. As an application, we prove a uniform vector bundle on classical Grassmannians and quadrics of low rank is splitting.

研究の動機と目的

• 有理的連結で分離可能である多様体上のベクトル bundle の自明性基準を、有理曲線の族を用いて簡単な証明を与えること。
• シューベルト直線への制限が自明であるかどうかに基づいて、同型空間上のベクトル bundle の自明性基準を確立すること。
• チェーン類理論と VRMT の良い可除性を用いて、同型空間上の低ランクの一様ベクトル bundle の一般分解基準を構築すること。
• 分解基準を古典的グラスマンニアンおよび二次曲面に適用し、ランクが s(X) 以下のすべての一様ベクトル bundle が分解することを証明すること。
• 既存の結果を拡張し、複数の古典的同型空間に適用可能な一様的でコhomオロジカルに裏付けられた方法を提供すること。

提案手法

• 分離的有理的連結多様体に、リーマン・ホッホ条件を満たす有理曲線の族が存在することを用い、ベクトル bundle の自明性を有理曲線への制限に還元する。
• リーマン・ホッホのペンシル技法と基底変換定理を用い、平坦性および射影公式を介して、ファイバーからの自明性を全空間へと持ち上げる。
• チェーン類理論とチャウ環の構造を用いて、同型空間の VRMT（トーラスのモジュライの仮想解体）の次数 r までの一様可除性を定義する。
• ベクトル bundle のランクに関する帰納法を用い、Ext^1 群の消滅（dim(G/P) ≥ 2 のとき H^1(G/P, L) = 0）を介して、一様かつ VRMT が良い可除性を持つ場合の分解を証明する。
• ブルア・分解とチャウ環の同型（CH*(X) ≅ H*(X, Z)）を用い、テンソル積および射影バンドル公式を通じて、二次曲面およびグラスマンニアンの良い可除性を分析する。
• 積および射影バンドルに関する良い可除性の補題を適用し、積やフラッグ多様体（特に正規およびシミプレクティックグラスマンニアンを含む）への基準の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的連結多様体上のベクトル bundle が、すべての有理曲線への制限が自明であるとき、どのような条件下で自明になるか？
• RQ2 同型空間 G/P 上のベクトル bundle が、すべてのシューベルト直線への制限が自明であるとき、どのような条件下で自明になるか？
• RQ3 同型空間上の低ランクの一様ベクトル bundle が、ラインバンドルの直和に分解するための条件は何か？
• RQ4 どのような古典的同型多様体（例えば、グラスマンニアン、二次曲面）が、ランクが s(X) 以下のすべての一様ベクトル bundle に対して分解基準を満たすか？
• RQ5 同型空間の VRMT の良い可除性が、ランクが有界な一様ベクトル bundle の分解にどのように関係するか？

主な発見

• 代数閉体上の滑らかで射影的な多様体上のベクトル bundle は、その多様体が分離的有理的連結であれば、すべての有理曲線への制限が自明であることと同値に自明である。
• 同型空間 G/P 上のベクトル bundle は、すべてのシューベルト直線への制限が自明であることと同値に自明である。
• ピカール数が 1 の同型空間 G/P に対して、ランクが r 以下のすべての一様ベクトル bundle は、その VRMT が次数 r まで良い可除性を持つとき、分解する。
• ランクが min(k, n−k−1) 以下の古典的グラスマンニアン G(k,n) 上の一様ベクトル bundle は、その VRMT の良い可除性により、分解する。
• ランクが n−2（n が奇数のとき）または n−3（n が偶数のとき）以下の二次曲面 Q^n 上の一様ベクトル bundle は、そのチャウ環構造の良い可除性により、分解する。
• 本手法により、正規およびシミプレクティックグラスマンニアンを含む、さまざまな古典的同型多様体上の低ランク一様ベクトル bundle の分解が、VRMT とチェーン類理論に基づく一般基準を用いて一様に証明される。