[論文レビュー] Tropical Principal Component Analysis and its Application to Phylogenetics

Ruriko Yoshida, Leon Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2017

Genomics and Phylogenetic Studies参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トロピカル幾何における2つの新しいトロピカル主成分分析（PCA）手法を紹介する。1つはステイフェルトロピカル線形空間に基づくもので、もう1つはトロピカルポリトープに基づくもので、両者ともデータポイントへのトロピカル距離を最小化する。系統発生学への応用において、これらの手法は木空間のデータの次元削減に成功しており、特にトロピカルポリトープ手法は、超等距離性を保ち、アピコメクサのゲノムデータに顕著なトポロジカル構造を明らかにしている。

ABSTRACT

Principal component analysis is a widely-used method for the dimensionality reduction of a given data set in a high-dimensional Euclidean space. Here we define and analyze two analogues of principal component analysis in the setting of tropical geometry. In one approach, we study the Stiefel tropical linear space of fixed dimension closest to the data points in the tropical projective torus; in the other approach, we consider the tropical polytope with a fixed number of vertices closest to the data points. We then give approximative algorithms for both approaches and apply them to phylogenetics, testing the methods on simulated phylogenetic data and on an empirical dataset of Apicomplexa genomes.

研究の動機と目的

• トロピカル射影トーラス内での高次元データの次元削減を目的とした、古典的PCAのトロピカル版を開発すること。
• 木空間データの構造を活用することで、大規模な系統発生データセットを分析する課題に取り組むこと。
• 計算的に実行可能で、超等距離性などの重要な生物学的性質を保つ、トロピカルPCAを計算する近似アルゴリズムを提供すること。
• 古典的PCAの主成分のネスト構造に類似した、トロピカルPCAの構造的ネストまたは階層的包含性が存在するかを調査すること。
• 両方のトロピカルPCA手法が、シミュレートされたおよび実際の系統発生データセット（特にアピコメクサゲノム）に対して、性能と解釈可能性の観点からどのように比較されるかを評価すること。

提案手法

• トロピカル射影トーラス内でのデータポイントへの最良の（トロピカル距離で測った）(s−1)次元部分空間として、ステイフェルトロピカル線形空間によるトロピカルPCAを定義する。
• データポイントと候補となる部分空間の間の距離を、$ d_{tr}(v,w) = \max_{i<j} |v_i - w_i - v_j + w_j| $ で測定する。
• 最良のステイフェルトロピカル線形空間問題を、二乗トロピカル距離の和を最小化する問題として定式化し、$ e $ 個の点が $ \mathbb{R}^e/\mathbb{R}\mathbf{1} $ に存在する場合に、トロピカル体積を用いて正確な解を得る。
• 一般の場合のためのヒューリスティックアルゴリズムを提案し、最適な行列の探索を3点のランダムサンプリングで初期化する。
• s 個の点のトロピカル凸包として定義されるトロピカルポリトープによるトロピカルPCAを、データポイントへの合計トロピカル距離を最小化するものとして定義する。
• 最良の適合トロピカルポリトープ問題を混合整数計画問題として再定式化し、反復的リファインメントとサンプリングを用いた近似アルゴリズムを開発する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ステイフェルトロピカル線形空間を用いて、トロピカル射影トーラスにおける主成分分析を意味的に拡張できるか？
• RQ2 トロピカルポリトープに基づくPCAは、射影後の系統発生木において、超等距離性といった重要な生物学的性質を保っているか？
• RQ3 シミュレートされたおよび実際の系統発生データセットに適用した場合、2つのトロピカルPCA手法の性能と解釈可能性はどのように比較されるか？
• RQ4 古典的PCAの主成分ネストに類似した、ネスト構造または階層的包含性がトロピカルPCAに存在するか？
• RQ5 データポイントの集合によって定義されるステイフェルトロピカル線形空間が、元の木空間のトロピカル線形空間に含まれる条件は何か？

主な発見

• トロピカル体積を用いて、$ \mathbb{R}^e/\mathbb{R}\mathbf{1} $ 内の $ e $ 個の点に対する最良のトロピカル超平面（すなわち、(e−1)次元空間）の正確な解が得られた。
• トロピカルポリトープPCA手法は超等距離性を保っている：射影された等距離木は、依然として超等距離木の性質を保ち、木のトポロジー分布の解析が可能である。
• アピコメクサゲノムデータセットにおいて、射影された木のトポロジーは、トロピカルポリトープの異なる領域に分布しており、トポロジーごとの意味のあるクラスタリングを示している。
• ステイフェルPCAおよびトロピカルポリトープPCAの両方の近似アルゴリズムは、シミュレートおよび実験的系統発生データに成功裏に適用され、実行可能性が裏付けられた。
• 最良の適合トロピカル構造は一意ではない。最良の適合ステイフェル空間がトロピカルフェルマー＝ウェーバー点を含まない場合、同程度に良い代替の適合が存在する。
• トロピカルPCA手法は次元の観点で良好に振る舞う：s 個の点からなるステイフェル線形空間およびトロピカルポリトープは、次元がすべて s−1 以下であるため、BHV距離の凸包が引き起こす高次元化の問題を回避している。