[論文レビュー] Tropical Support Vector Machine and its Applications to Phylogenomics

Xiaoxian Tang, Houjie Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Genomics and Phylogenetic Studies参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非ユークリッド的ツリー空間に存在する系統樹の分類を目的として、トロピカルなサポートベクターマシン（SVM）を提案する。トロピカル幾何とmax-plus代数を活用し、ハードマージンおよびソフトマージンのトロピカルSVMを線形計画問題として定式化する。妥当性の必要十分条件を証明し、最適マージンの明示的公式を導出することで、系統ゲノム分野におけるマルチローカスゲノムデータの分類に高い耐障害性をもたらす。

ABSTRACT

Most data in genome-wide phylogenetic analysis (phylogenomics) is essentially multidimensional, posing a major challenge to human comprehension and computational analysis. Also, we can not directly apply statistical learning models in data science to a set of phylogenetic trees since the space of phylogenetic trees is not Euclidean. In fact, the space of phylogenetic trees is a tropical Grassmannian in terms of max-plus algebra. Therefore, to classify multi-locus data sets for phylogenetic analysis, we propose tropical support vector machines (SVMs). Like classical SVMs, a tropical SVM is a discriminative classifier defined by the tropical hyperplane which maximizes the minimum tropical distance from data points to itself in order to separate these data points into sectors (half-spaces) in the tropical projective torus. Both hard margin tropical SVMs and soft margin tropical SVMs can be formulated as linear programming problems. We focus on classifying two categories of data, and we study a simpler case by assuming the data points from the same category ideally stay in the same sector of a tropical separating hyperplane. For hard margin tropical SVMs, we prove the necessary and sufficient conditions for two categories of data points to be separated, and we show an explicit formula for the optimal value of the feasible linear programming problem. For soft margin tropical SVMs, we develop novel methods to compute an optimal tropical separating hyperplane. Computational experiments show our methods work well. We end this paper with open problems.

研究の動機と目的

• マルチローカス系統樹の分類という課題に取り組む。系統樹は古典的SVMに不適切な非ユークリッド空間に存在する。
• max-plus代数を用いて、系統樹のトロピカル・グラスマン多様体空間に特化した判別分類器を開発する。
• ハードおよびソフトマージンのトロピカルSVMを、データポイントをセクタに分離するための線形計画問題として定式化する。
• 同じクラスに属する点が同じセクタ内にあるという仮定の下で、線形計画問題の妥当性の必要十分条件を確立する。
• ハードマージンの場合の最適マージンの明示的公式を導出し、計算効率と理論的保証を可能にする。

提案手法

• max-plus代数を用いて、系統樹の空間をトロピカル・グラスマン多様体としてモデル化し、非ユークリッド幾何的解析を可能にする。
• トロピカル超平面を、トロピカル射影トーラス内のデータポイントの間の分離境界として定義する。
• ハードマージンのトロピカルSVMに対しては、超平面からの最小トロピカル距離（マージン）を最大化する線形計画問題として最適化問題を定式化する。
• 重複するデータポイントに対応するため、ソフトマージンのトロピカルSVMを導入し、マージン最大化と分類誤差のバランスを取る統合的目的関数を採用する。
• 特に、セクタの整合性に注目したインデックス i_P, j, i_Q の対比較を用いて、妥当性条件を導出する。
• クラス間のツリー座標値の差の最小値に基づく、最適マージン値の明示的公式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トロピカルSVMは、トロピカル・グラスマン多様体空間という非ユークリッド空間において、2つの系統樹クラスを効果的に分離できるか？
• RQ2 ハードマージンのトロピカルSVMの線形計画問題の妥当性に必要な十分条件は何か？
• RQ3 セクタの整合性仮定のもとで、ハードマージンのトロピカルSVMにおける最適マージンを明示的に計算する方法は何か？
• RQ4 重複するデータが存在する状況において、ソフトマージンのトロピカルSVMをどのように定式化・解くか？マージン最大化と分類誤差のバランスを取る方法は？
• RQ5 トロピカルSVMにおける最大達成可能なマージンの理論的上限は何か？また、それはどのような条件下で達成されるか？

主な発見

• ハードマージンのトロピカルSVMの線形計画問題の妥当性に必要な十分条件は、不等式 (17) および (18) で与えられ、異なるクラスに属するツリー間の座標差の最小値と最大値を含む。
• セクタの整合性条件が成立する場合、最適マージン値の明示的公式は z = min{p∈P}(p_iP - p_j) + min{q∈Q}(q_j - q_iP) として導出される。
• 最適マージンは、ω_iP - ω_j = min{q∈Q}(q_j - q_iP) または ω_iQ - ω_j = min{p∈P}(p_j - p_iQ) のいずれかが成立する際に達成され、最大分離が保証される。
• 最適マージン z の上界は、任意のインデックスのペア k1, k2 に対して z ≤ ½(min{p∈P}(p_k1 - p_k2) + min{q∈Q}(q_k2 - q_k1)) で与えられる。
• ソフトマージンのトロピカルSVMでは、統合的目的関数によりマージン最大化と誤差最小化をバランスさせ、データポイントが完全に分離可能でない場合でも頑健な分類を可能にする。
• 計算実験により、提案手法の有効性が確認され、R言語による実装が公開のGitHubリポジトリで入手可能である。