[論文レビュー] Truncated convolution of character sheaves

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、代数群およびルスツィグのキャラクターシーブ理論の文脈において、キャラクターシーブ上の切断畳み込み演算を導入する。これは、ねじれ誘導関手と間の自然同型を確立し、切断畳み込みが重みフィルトレーションおよび perverse シーブ構造を保存することを示す。これにより、Weyl 群の Grothendieck 群上の群準同型およびトレース公式を用いたキャラクターシーブの Grothendieck 群の新たな特徴づけが得られる。

ABSTRACT

Let G be a reductive connected group over an algebraic closure of a finite field. I define a tensor structure on the category of perverse sheaves on G which are direct sums of unipotent character sheaves in a fixed two-sided cell, in accordance with a conjecture I have made in 2004. I also show that that the resulting monoidal category is equivalent to the centre of a monoidal category which I defined in 1997 (a categorical version of the J-ring attached to the same two-sided cell), thus verifying a conjecture of Bezrukavnikov, Finkelberg, Ostrik. A possible interpretation of unipotent characters associated to a finite noncrystallographic Coxeter group is given.

研究の動機と目的

• 再帰的代数群の文脈において、キャラクターシーブ上の切断畳み込み演算を定義し、その性質を調べること。
• 既存の文献における結果を一般化し、ねじれ誘導関手と切断畳み込みとの間に自然同型を確立すること。
• 切断畳み込みが導来カテゴリにおける重みフィルトレーションおよび perverse シーブ構造を保存することを証明すること。
• Weyl 群の Grothendieck 群上の群準同型およびトレース公式を用いて、キャラクターシーブの Grothendieck 群を特徴づけること。
• 有限 Lie 型群の表現論に関連する、以前の研究における結果の特徴零点版を提供すること。

提案手法

• 特定の重みレベルでの切断を用い、$ a + \nu + r $-シフトされたキャラクターシーブ構成を用いて、$ \chi $ を畳み込みと切断の合成として定義する。
• 切断畳み込みの作用を $ \bb{Z} $-加群のレベルに引き上げるために、Grothendieck 群 $ \Cal{C}^{b{c}}_0 G $ を用いる。
• $ D_c $ の要素に 1、それ以外に 0 を割り当てる群準同型 $ \tau: J^c \to \bb{Z} $ を導入し、トレース公式を用いて Hom-次元を計算する。
• $ G $-等変性を有する $ L' $ を利用して、射 $ c, c', t, u, d $ 沿いの引き戻しと押し出しを含む図式の走査を用いて、$ \chi(L \bullet L') = \chi(L' \bullet L) $ という自然同型を確立する。
• 重みフィルトレーションを解析し、$ \Phi $ が特定の条件下で $ \prec $-フィルトレーションを保存することを示すために、区別された三角形分解 $ (\tau_{>i}X, \tau_{\leq i}X, X^i[-i]) $ を適用する。
• Weyl 群の既約表現の直交性を用いて、$ J^c \otimes \bb{C} $ 上の群作用素のトレースに帰着することで、Hom-次元の計算を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キャラクターシーブ上の切断畳み込み演算は、$ G $-等変シーブの導来カテゴリにおける標準畳み込みとどのように関係するか？
• RQ2 切断畳み込みが導来カテゴリにおける perverse フィルトレーションおよび重み構造を保存するための条件は何か？
• RQ3 切断誘導関手は、Grothendieck 群においてねじれ畳み込み演算と自然に同一視可能か？
• RQ4 $ \dim \text{Hom}_{\Cal{C}^c G}(\underline{\chi}(\mathbb{L}_z), \underline{\chi}(\mathbb{L}_u)) $ の正確なトレース公式は何か？ そしてそれは Weyl 群表現論とどのように関係するか？
• RQ5 $ G $-等変性を有する $ L' $ は、Grothendieck 群において $ \chi(L \bullet L') = \chi(L' \bullet L) $ の対称性をどのように実現するか？

主な発見

• $ G $-等変な $ L' $ に対して、切断畳み込み演算は $ \chi(L \bullet L') = \chi(L' \bullet L) $ を満たし、Grothendieck 群において自然な対称性を確立する。
• $ \dim \text{Hom}_{\Cal{C}^c G}(\underline{\chi}(\mathbb{L}_z), \underline{\chi}(\mathbb{L}_u)) $ の次元は、$ (-1)^{|z|+|u|} \sum_{y \in \mathbb{c}} \tau(t_{y^{-1}} t_z t_y t_{u^{-1}}) $ で与えられ、これは非負整数である。
• 切断誘導関手 $ \chi $ は $ \underline{\chi}(\mathbb{L}_z) = \underline{R_z^{n_z}}(n_z/2) $ を満たし、標準的誘導表現と関連づけられる。
• 指定された条件下で、複体の重み $ \leq i $ に対する関手 $ \Phi $ の作用は $ \prec $-フィルトレーションを保存する。また、$ j > c + c' $ に対して $ (\Phi(\mathbb{X}))^j \in \Cal{M}^{\prec}Y_2 $ が成り立つ。
• 与えられたフィルトレーションおよび重み制約のもとで、自然同型 $ \underline{(\Phi(\underline{\mathbb{X}^{\{c'\}}}))^{\{c\}}} = \underline{(\Phi(\mathbb{X}))^{\{c+c'\}}} $ が成立する。
• トレース公式は $ y \in \mathbb{c} $ における和に簡略化され、$ t_z t_y t_u^{-1} $ の $ t_y $ の係数は $ \tau(t_{y^{-1}} t_z t_y t_{u^{-1}}) $ に等しく、これは $ y^{-1} = t_z t_y t_u^{-1} $ のとき 1、それ以外のときは 0 である。