[論文レビュー] Truncations of level 1 of elements in the loop group of a reductive group

Eva Viehmann|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、局所体上の再帰的群のループ群の元に対して、ハイパスペシャル maximal open 部分群による $K$-共軛作用に関して不変な、レベル1の切断（truncation）と呼ばれる新しい不変量を導入し、その分類を提示する。主な貢献は、$K_1\backslash G(L)/K_1$ 内の $K$-σ-共軛類と、$w \in {}^\mu W$ を満たすペア $(w,\mu) \in W \times X_*(T)_{\text{dom}}$ の間の自然な全単射を確立することであり、これはエーケルダル＝オーレン特異層の構造と関連する群論的枠組みを提供し、エーケルダル＝オーレン特異層におけるニュートン多角形の必要条件を提示する。

ABSTRACT

We generalize the notion of Ekedahl-Oort strata to elements in the loop group of any connected reductive group, and call the resulting discrete invariant the truncation of level 1 of the element. We give conditions for the Newton points occurring among the elements of a given truncation of level 1 and especially for the generic Newton point in a given truncation stratum. We prove that truncation strata are locally closed and give a description of the closure of each stratum. We also translate our results back to the original Ekedahl-Oort stratification of the reduction modulo p of Shimura varieties.

研究の動機と目的

• 再帰的群のループ群の元に対して、ハイパスペシャル maximal open 部分群による $K$-σ-共軛作用に関して不変な、新しい不変量「レベル1の切断」を定義し、その性質を調査すること。
• レベル1の切断を、$w \in {}^\mu W$ かつ $\mu$ がドミナントであるペア $(w,\mu)$ と対応付ける全単射により分類すること。
• レベル1の切断の特殊化挙動を記述し、与えられた切断ストラトム内での $\sigma$-共軛類の群論的条件を同定すること。
• レベル1の切断不変量が、$p$ で良い還元を持つシーゲルモジュライ空間および他の PEL シムーラ多様体のエーケルダル＝オーレン特異層とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 代表元が $K_1 w \tau_\mu K_1$ の形をとる $w \in {}^\mu W$ および $\tau_\mu = x_\mu \epsilon^\mu$ を用いて、$K_1\backslash G(L)/K_1$ 内の $K$-σ-共軛類としてレベル1の切断を定義する。
• 集合 $K_1\backslash G(L)/K_1$ 内の $K$-σ-共軛類の集合と、集合 $\mathcal{T} = \{(w,\mu) \in W \times X_*(T)_{\text{dom}} \mid w \in {}^\mu W\}$ の間の全単射を確立し、定理1.1を証明する。
• 拡張されたアフィンワイル群 $\widetilde{W} = N_T(L)/T(\mathcal{O})$ と、$P_\mu = M_\mu B$ の形のパラボリック部分群の構造を用いて、二重coset とその $\sigma$-共軛性を分析する。
• 任意の $Iw\tau_\mu I$ 内の元が、$K_1 w\tau_\mu K_1$ 内の元と $I$-σ-共軛であることを証明し、イワホリと $K$-二重coset 構造を結びつける。
• $p$-可除群のディエュドネモジュール記述を用いて、レベル1の切断不変量とエーケルダル＝オーレン特異層を関連付け、切断型がフォビニウス自己準同型の $K$-σ-共軛類に対応することを示す。
• ループ群内の閉包関係を応用して、理論を適用し、エーケルダル＝オーレン特異層 $S_w$ 内の一般ニュートン多角形が、$\overline{S_w}$ 内の短い元の中で最大のニュートン多角形であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $K_1\backslash G(L)/K_1$ 内の $K$-σ-共軛類の構造は何か？ また、それらはどのように分類可能か？
• RQ2 レベル1の切断は特殊化においてどのように振る舞い、与えられた切断ストラトム内での $\sigma$-共軛類を決定づける群論的条件は何か？
• RQ3 レベル1の切断不変量は、シーゲルモジュライ空間および他の PEL シムーラ多様体のエーケルダル＝オーレン特異層とどのように関係するか？
• RQ4 与えられたエーケルダル＝オーレン特異層内での切断型とニュートン多角形の関係は何か？
• RQ5 エーケルダル＝オーレン特異層内の一般ニュートン多角形は、レベル1の切断不変量とループ群内の閉包関係を用いて特徴づけられるか？

主な発見

• $K_1\backslash G(L)/K_1$ 内の $K$-σ-共軛類の集合は、集合 $\mathcal{T} = \{(w,\mu) \in W \times X_*(T)_{\text{dom}} \mid w \in {}^\mu W\}$ と自然に全単射であることが示され、レベル1の切断の完全な分類が確立された。
• 任意の $Iw\tau_\mu I$ 内の元は、$K_1 w\tau_\mu K_1$ 内の元と $I$-σ-共軛である。これは、イワホリと $K$-二重coset 構造を結びつける。
• レベル1の切断は $K$-σ-共軛作用に関して不変であり、コットヴィッツが研究した $\sigma$-共軛類不変量の精密化を提供する。
• シーゲルモジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ に対して、エーケルダル＝オーレン特異層 $S_w$ 内の一般ニュートン多角形は、$\overline{S_w}$ 内の短い元の中で最大のニュートン多角形であることが示され、Corollary 7.3 で確認されている。
• $G = GSp_{2g}$ の場合、ループ群 $LG$ 内の閉包関係はエーケルダル＝オーレン特異層のそれと一致し、切断ストラトム $S_{w,\mu}$ がその同一型内での最小の $p$-可除群を含むことは、$S_{w_0,\mu} \subseteq \overline{S_{w,\mu}}$ が成り立つときに限り成立する。
• 理論により、各同一型に、$\mu$ に対応する $K$-二重coset 内に短い元を含む代表元が存在することが示唆されるが、非分裂な $G$ の場合にはそのような代表元は一意的ではない可能性がある。