[論文レビュー] Tunneling through high energy barriers in simulated quantum annealing

Elizabeth Crosson, Mingkai Deng|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、シミュレーテッド量子アニーリング（SQA）が、古典的シミュレーテッドアニーリング（SA）が指数的に失敗する『ハミング重みにスパイクを加えた問題』における高いエネルギー障壁を、効率的にトンネル効果で克服できることを示している。十分に細かい虚時間離散化（L ∝ n）を用いた経路積分モンテカルロ法により、SQAは多項式的収束時間を達成し、量子アニーリングの古典的手法に対する優位性を引き継ぐ。

ABSTRACT

We analyze the performance of simulated quantum annealing (SQA) on an optimization problem for which simulated classical annealing (SA) is provably inefficient because of a high energy barrier. We present evidence that SQA can pass through this barrier to find the global minimum efficiently. This demonstrates the potential for SQA to inherit some of the advantages of quantum annealing (QA), since this problem has been previously shown to be efficiently solvable by quantum adiabatic optimization.

研究の動機と目的

• シミュレーテッド量子アニーリング（SQA）が、古典的シミュレーテッドアニーリング（SA）を妨げる高エネルギー障壁を克服できるかどうかを調査すること。
• SQAが、指数的障壁を示す問題において、量子アニーリング（QA）の量子的優位性を引き継げるかどうかを特定すること。
• SQAの収束時間のシステムサイズ n および虚時間離散化 L に依存する関係を分析すること。
• 古典的アニーリングに存在するトポロジカル障害が存在する状況でも、SQAが効率的である条件を確立すること。

提案手法

• SQAは、量子アニーリングプロセスを古典的統計力学系に写像するためのスズキ＝トロッター近似を用いた経路積分モンテカルロ法で実装される。
• 有効な古典的エネルギー関数 E_C には、問題のハミルトニアン f(z) と虚時間方向に沿ったフェロ磁性結合 J が含まれており、Γ → 0 のとき J ∝ 1/Γ と比例する。
• 局所的なスピン1つずつの反転とメトロポリス受理ルールを用いたマルコフ連鎖モンテカルロ法により、平衡分布 π(𝐳) ∝ exp(−βE_C(𝐳)) のサンプリングが行われる。
• ワールドライン更新は検討されたが必須ではない。局所的更新のみで多項式的収束が示された。
• 各 Γ_i におけるグローバル最小値をサンプリングするために必要なスイープ数 τ_s を収束指標として測定する。
• 横磁場 Γ は 1 から 10⁻¹² まで幾何的に減少させ、真の最小値が定常分布を支配するように β = 32 を設定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SQAは、古典的SAが指数的に失敗する高エネルギー障壁を、効率的にトンネル効果で克服できるか？
• RQ2 エネルギー障壁が存在する状況でも、SQAの平衡化時間はシステムサイズ n に対して多項式的にスケーリングするか？
• RQ3 SQAが古典的挙動に戻らないようにするための虚時間離散化 L の必要スケーリングは何か？
• RQ4 SQAの動的臨界指数 z は、1次元運動的イジング模型と比較してどうなるか？
• RQ5 この問題におけるSQAの性能は、量子アニーリングの多項式的ランタイム優位性と整合的か？

主な発見

• SQAの収束時間 τ_s ≈ O(n^1.98) が得られ、システムサイズ n に対して多項式的スケーリングであることが示された。
• 動的臨界指数 z ≈ 1.98 は、β → ∞ の極限における1次元運動的イジング模型の予想される z = 2 と整合的である。
• ハミング重み n/4 に位置する高エネルギー障壁が存在しても、平衡化時間は多項式的のままである。
• SQAの効率性は、Trotterスライス数 L が n に線形にスケーリングする場合にのみ維持される。これにより、障壁を越える移動の受理確率が指数的に小さくならない。
• L が定数のままの場合、SQAの収束時間は指数的になるため、古典的挙動へのクロスオーバーが示された。
• これらの結果は、虚時間離散化が十分に細かければ、SQAが高エネルギー障壁をトンネル効果で克服する量子的優位性を引き継げる可能性を示唆している。