[論文レビュー] Twice-Ramanujan Sparsifiers

Joshua Batson, Daniel A. Spielman+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2008

Graph theory and applications参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の無向重み付きグラフに対して、スペクトルスパーシファイアを決定的多項式時間で構築するアルゴリズムを提案する。このアルゴリズムは、$\frac{d+1+2\sqrt{d}}{d+1-2\sqrt{d}}$ のスペクトル近似比を達成し、$\lceil d(n-1)\rceil$ 様の辺を用いる。これはラマヌジャン拡張子の辺数のおおよそ2倍である。この手法は、任意のグラフへの拡張子の一般化を可能にし、線形サイズの出力で近似的に最適なスペクトル近似を実現する。

ABSTRACT

We prove that every graph has a spectral sparsifier with a number of edges linear in its number of vertices. As linear-sized spectral sparsifiers of complete graphs are expanders, our sparsifiers of arbitrary graphs can be viewed as generalizations of expander graphs. In particular, we prove that for every $d>1$ and every undirected, weighted graph $G=(V,E,w)$ on $n$ vertices, there exists a weighted graph $H=(V,F, ilde{w})$ with at most $\lceil d(n-1) ceil$ edges such that for every $x \in \mathbb{R}^{V}$, \[ x^{T}L_{G}x \leq x^{T}L_{H}x \leq (\frac{d+1+2\sqrt{d}}{d+1-2\sqrt{d}})\cdot x^{T}L_{G}x \] where $L_{G}$ and $L_{H}$ are the Laplacian matrices of $G$ and $H$, respectively. Thus, $H$ approximates $G$ spectrally at least as well as a Ramanujan expander with $dn/2$ edges approximates the complete graph. We give an elementary deterministic polynomial time algorithm for constructing $H$.

研究の動機と目的

• 任意の無向重み付きグラフに対して、頂点数に比例する辺数を有するスペクトルスパーシファイアの存在を証明すること。
• 従来の確率的または近似手法に比べ、そのようなスパーシファイアを決定的多項式時間で構築すること。
• 正則でないグラフに対しても、ラマヌジャン拡張子のそれと同等または優れたスペクトル近似比を達成すること。
• スペクトルスパーシフィケーションとカジソン＝サイモン予想との関係を確立し、関数解析および行列理論における広範な意味を示唆すること。

提案手法

• ラプラシアンの二次形式に基づき、スペクトル近似に最も寄与する辺を反復的に選択するグリーディで決定的なアルゴリズムを用いる。
• 固有値のインタラーシング性およびラプラシアン二次形式の構造を活用し、近似比の上限を導出する。
• すべての1ベクトルに直交するベクトルの射影を含む、レイリー商と関連する重要な不等式を適用し、スペクトル境界を導出する。
• スパーシファイアにおける重み付き次数が $n$ から $n\kappa$ の間で有界であることに着目し、固有値の集中を示す議論を展開する。
• 近似要因 $\kappa = \frac{d+1+2\sqrt{d}}{d+1-2\sqrt{d}}$ が、低次の項を除いて漸近的に最適であることを証明する。
• スパーシフィケーション定理の強化版がカジソン＝サイモン予想の解決を示唆することを示し、結果をカジソン＝サイモン予想と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の無向重み付きグラフは、辺数が頂点数に比例する線形サイズのグラフにスパーシファイできるか？ その際、スペクトル近似因子が有界であるか？
• RQ2 このようなスペクトルスパーシファイアを構築する決定的多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ3 正則でないグラフに対しても、ラマヌジャン拡張子と同等の近似因子を達成できるか？
• RQ4 平均次数 $d$ のグラフに対して、達成可能な最良の近似因子は何か？
• RQ5 このようなスパーシファイアの存在は、カジソン＝サイモン予想の解決を示唆するか？

主な発見

• 任意の $d > 1$ および任意の $n$ 頂点の重み付きグラフ $G$ に対して、$\lceil d(n-1)\rceil$ 様の辺を有するスペクトルスパーシファイア $H$ が存在し、すべての $x \in \mathbb{R}^V$ に対して $x^T L_G x \leq x^T L_H x \leq \left(\frac{d+1+2\sqrt{d}}{d+1-2\sqrt{d}}\right) x^T L_G x$ を満たす。
• アルゴリズムは決定的 $O(dn^3m)$ 時間で $H$ を構築でき、従来の確率的または近似手法に比べて顕著に高速である。
• 近似因子 $\kappa = \frac{d+1+2\sqrt{d}}{d+1-2\sqrt{d}}$ は、平均次数 $d$ のグラフでは、$1 + \frac{2}{\sqrt{d}} - O\left(\frac{\sqrt{d}}{n}\right)$ よりも良い $\kappa$ を達成できないため、漸近的に最適である。
• スパーシファイアはラマヌジャン拡張子を一般化する：$G$ が完全グラフの場合、$H$ は重み付きで非正則な拡張子であり、スペクトル的性質がラマヌジャン境界と一致する。
• この結果により、有効抵抗が十分に小さいグラフは、元のグラフをそれぞれスペクトル的に近似する2つの部分グラフに分割可能であることが示される。
• スパーシフィケーション定理の強化版がカジソン＝サイモン予想の解決を示唆する。これにより、スペクトルグラフ理論と関数解析との間に深い関連が確立される。