[論文レビュー] Twins of s-free numbers

Julia Brandes|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Numerical Methods and Algorithms参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ヘイス・ブラウンの平方スクリーブを高次の累乗に一般化し、$s$-自由数のための文字和に基づくスクリーブを導入することで、連続する $s$-自由数の数え上げにおける誤差項を改善した。$n, n+1 \leq x$ である連続する $s$-自由数の個数は $C_s x + O(x^{\frac{14}{7s+8}+\epsilon})$ であることが確立され、リーマン予想を仮定しない条件下で、カーリッツの $O(x^{\frac{2}{s+1}+\epsilon})$ より著しく改善された。

ABSTRACT

We generalise the square sieve developed by Heath-Brown to higher powers in order to improve on the error term for the problem of counting consecutive power-free numbers.

研究の動機と目的

• リーマン予想を仮定せずに、連続する $s$-自由数 $n, n+1 \leq x$ の漸近的個数における誤差項を改善すること。
• ヘイス・ブラウンの平方スクリーブ法を $s=2$ から $s \geq 2$ の高次の $s$ へ一般化し、高次の累乗剰余文字を用いること。
• $E_s(n)$ を $s$-自由数の指示関数とするとき、相関和 $\sum_{n \leq x} E_s(n)E_s(n+1)$ に対する非自明な誤差境界を導出すること。
• カーリッツの $\frac{2}{s+1}$ よりも優れた新しい指数 $\frac{14}{7s+8}$ を誤差項に導入し、$\epsilon$ に明示的な依存関係を示すこと。
• 文字和のキャンセレーションとダイアディック分解による利益が、誤差指数において $O(x^{1/s^2})$ の改善をもたらすことを示すこと。

提案手法

• $(s, p-1) \neq 1$ を満たす素数 $p$ における非主 $s$ 乗剰余文字 $\left(\frac{\cdot}{p}\right)_s$ を用いた一般化されたスクリーブを導入する。
• コンパクトに台を持つ重み $w(n) = 0$ $(n \geq e^P$ のとき) を用いた重み付き和 $S(\mathcal{A}) = \sum_n w(n^s)$ を適用する。ここで $P = \#\mathcal{P}$ である。
• $n$ が $s$ 乗数であるとき $\left|\sum_{p \in \mathcal{P}} \left(\frac{n}{p}\right)_s\right|^2 \gg P^2$ であるという恒等式を用い、文字和による $s$-自由数の検出を行う。
• 文字和の平方を展開し、$S(\mathcal{A}) \ll P^{-1} \sum w(n) + P^{-2} \sum_{p \neq q} \left| \sum w(n) \left(\frac{n}{p}\right)_s \overline{\left(\frac{n}{q}\right)_s} \right|$ という評価を得る。
• $J, K$ におけるダイアディック分解を用い、Henselの補題と除数関数の評価を用いて $j^s u \pm 1 = k^s v$ の解の個数を推定する。
• 補題3を用いて文字和の評価と解の個数の推定を組み合わせ、パラメータ $y = x^{14/(7s+8)}$ の最適選択により誤差項を最小化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイス・ブラウンの平方スクリーブ法を $s \geq 3$ に対する $s$-自由数へ一般化し、連続する $s$-自由数の個数の誤差項を改善できるか？
• RQ2 リーマン予想を仮定しない場合、$\sum_{n \leq x} E_s(n)E_s(n+1)$ の最良の誤差項は何か？
• RQ3 高次の累乗剰余文字と文字和のキャンセレーションを用いることで、初等的手法に比べて誤差項の指数はどのように改善されるか？
• RQ4 文字和のキャンセレーションとダイアディック分解による利益を定量的に評価し、カーリッツの境界に対して $O(x^{1/s^2})$ の改善を得られるか？
• RQ5 誤差推定における競合する項をバランスさせるために、$y = x^{14/(7s+8)}$ の選択が果たす役割は何か？

主な発見

• 連続する $s$-自由数の対 $n, n+1 \leq x$ の個数は漸近的に $C_s x + O(x^{\frac{14}{7s+8}+\epsilon})$ である。ここで $C_s = \prod_p \left(1 - \frac{2}{p^s}\right)$ である。
• $s=2$ の場合、誤差項は $O(x^{7/11 + \epsilon} \log^7 x)$ に簡略化され、ヘイス・ブラウンの元の結果と一致するため、一般化の正当性が裏付けられる。
• 新しい誤差指数 $\frac{14}{7s+8}$ は、カーリッツの $\frac{2}{s+1}$ よりも $O(1/s^2)$ だけ優れており、定量的な大幅な改善を示している。
• この改善は主に、文字和推定における $p^{1/2}$ のキャンセレーションに起因し、$u$ に関する和の後に $U^{1/2}$ の改善に翻訳されるが、対数因子のコストを伴う。
• $j^s u \pm 1 = k^s v$ の解の個数に対する評価 $N \ll x(J^{-s}K + (JK)^{1-s})(\log x)^{s-1}$ は、誤差項のバランスを取るために不可欠である。
• 最終的な誤差項は $x^{\frac{14}{7s+8}+\epsilon}$ に支配され、最適なパrameter選択により、他のすべての項が漸近的に小さくなることが示された。