[論文レビュー] Twisted automorphisms of Hopf algebras

Alexei Davydov|ArXiv.org|Aug 21, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、不変のねじれのゲージ類を用いて、余代数的ホップ代数のねじれた自己同型を、bialgebra自己同型の一般化として導入する。universal enveloping代数において、ねじれた自己同型は標準的自己同型と不変ねじれに分解され、ねじれのゲージ類はリー代数の外積平方の不変部分空間に同型なアーベル群をなす。また、ねじれた自己同型全体の群はリー代数自己同型群とのクロス積をなす。

ABSTRACT

Twisted homomorphisms of bialgebras are bialgebra homomorphisms from the first into Drinfeld twistings of the second. They possess a composition operation extending composition of bialgebra homomorphisms. Gauge transformations of twists, compatible with adjacent homomorphisms, give rise to gauge transformation of twisted homomorphisms, which behave nicely with respect to compositions. Here we study (gauge classes of) twisted automorphisms of cocommutative Hopf algebras. After revising well-known relations between twists, twisted forms of bialgebras and $R$-matrices (for commutative bialgebras) we describe twisted automorphisms of universal enveloping algebras.

研究の動機と目的

• 表現カテゴリ間のモノイダル関手を、標準的なbialgebra写像を超える形で捉えるため、bialgebraホモロジズムの概念をねじれたホモロジズムへと拡張すること。
• 特にuniversal enveloping代数を対象として、余代数的ホップ代数のねじれた自己同型を研究し、表現論における隠れた対称性を理解すること。
• 不変ねじれのゲージ類によるねじれた自己同型の分類を確立し、リー代数におけるコホモロジー的構造と関連付けること。
• ねじれた自己同型による作用をもつ群から、クロス積bialgebraを構成し、このような対称性の明示的な代数的実現を与えること。
• 特にリー代数上の形式的べき級数の設定において、DrinfeldねじれとR行列がねじれた自己同型の文脈で果たす役割を明確にすること。

提案手法

• f が代数準同型で、F がねじれたcoassociativityおよび正規化条件を満たす可逆ねじれであるようなペア (f, F) として、ねじれたホモロジズムを定義する。
• 一般化されたテンソル積演算を用いて、ねじれたホモロジズムの合成を定義し、表現カテゴリにおけるモノイダル構造を保存する。
• 同値なねじれたホモロジズムを関連付けるためにゲージ変換を用い、合成に関して整合性を保つための適合条件を満たす。
• f がbialgebra自己同型であり、F が f(H) に対して不変であるような分離されたねじれた自己同型に注目し、明確な代数的構造を得る。
• universal enveloping代数における不変ねじれを (Λ²𝔤)𝔤 の 𝔤 不変部分空間の元として特徴づけ、ゲージ類がアーベル群をなすことを示す。
• 群 G がねじれた自己同型 (τ, θ) によって作用するとき、H*ₜ(τ,θ)G と表されるクロス積bialgebraを構成し、乗法および余乗法の明示的公式を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余代数的ホップ代数のねじれた自己同型は、どのように体系的に分類可能であり、どのような代数的構造をなすか？
• RQ2 universal enveloping代数の文脈において、ねじれた自己同型とR行列、またはDrinfeldねじれとの関係は何か？
• RQ3 ゲージ変換はねじれた自己同型にどのように作用し、このような変換の下で不変な量は何か？
• RQ4 universal enveloping代数におけるねじれた自己同型のゲージ類の群の代数的構造は何か？
• RQ5 ねじれた自己同型による群作用を用いて、クロス積構成により新しいbialgebraを構成できるか？その定義関係は何か？

主な発見

• universal enveloping代数 U(𝔤)[[h]] における不変ねじれのゲージ類は、(Λ²𝔤)𝔤 の 𝔤 不変部分空間に同型なアーベル群をなす。
• U(𝔤)[[h]] の任意のねじれた自己同型は、U(𝔤)[[h]] のbialgebra自己同型 φ と不変ねじれ F からなるペア (φ, F) に同値である。
• ねじれた自己同型のゲージ類の群は、リー代数自己同型群 Aut(𝔤) と不変ねじれのゲージ類のアーベル群とのクロス積に同型である。
• ヘイゼンベルク代数 𝔥(V,b) に対して、この構成により、生成子 l_v が [l_v, l_u] = (b(u,v)/3)c³ および Δ(l_v) = v⊗c − c⊗v + l_v⊗1 + 1⊗l_v を満たす bialgebra U(𝔥(V,b))[V,a] が得られる。
• 適合条件 (22) および (23) が満たされているとき、クロス積構成 H*ₜ(τ,θ)G はwell-definedなbialgebraであり、乗法および余乗法の明示的公式が得られる。
• 形式的体系により、量子群に類似した関係を、[l_X, l_Y] = −a(X,Y) および Δ(l_X) = X + l_X⊗1 + 1⊗l_X を満たす新しい生成子 l_X を用いて解釈可能となり、bialgebra構造が拡張される。