[論文レビュー] Twisted Bundle on Noncommutative Space and U(1) Instanton

Pei-Ming Ho|ArXiv.org|Mar 2, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非可換空間上における非定数ランクのねじれ bundle を導入し、これが非可換ゲージ理論において自然に現れることを示している。関数代数における射影作用素を用いて、ゲージ変換が定数ランク bundle と非定数ランクのものとを関係付けることができることを示し、Nekrasov と Schwarz の U(1) instanton 解が、原点を除いて常にランク1であるが原点で消えるような bundle の物理的実現であることを特定している。

ABSTRACT

We study the notion of twisted bundles on noncommutative space. Due to the existence of projective operators in the algebra of functions on the noncommutative space, there are twisted bundles with non-constant dimension. The U(1) instanton solution of Nekrasov and Schwarz is such an example. As a mathematical motivation for not excluding such bundles, we find gauge transformations by which a bundle with constant dimension can be equivalent to a bundle with non-constant dimension.

研究の動機と目的

• 非可換空間上における非定数ランクのねじれ bundle の数学的・物理的意義を理解すること。
• 古典的ファイバー束の直感とは逸脱するが、このような bundle を非可換ゲージ理論に含める数学的根拠を提供すること。
• 非可逆作用素を含むゲージ変換が、定数ランク bundle と非定数ランク bundle を関係付けることの可能性を示すこと。
• Nekrasov と Schwarz の U(1) instanton 解が、非可換量子平面における非定数ランク bundle の物理的実現であることを示すこと。
• 射影作用素と ADHM 構成法が、非可換設定においてこのような bundle を定義する上で果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 座標が [x_i, x_j] = iθ_ij を満たすことで、代数 A を用いて非可換空間を定義する。
• 調和振動子の生成・消滅作用素を用いて A をヒルベルト空間に実現し、|n⟩⟨n| のような射影作用素を得る。
• 左逆元を持たないが右逆元を持つ作用素 U を用いてゲージ変換を構成し、定数ランク bundle を非定数ランクのものへ写像する。
• ADHM 構成法を用いて、次元 (2k + N) の自明 bundle からランク N の射影モジュールへ射影することで、U(N) instanton 解を定義する。
• U(1) instanton の場合 (k = N = 1) において、ADHM 方程式を B₀ = B₁ = 0、I = √θ、J = 0 で解く。
• z-作用素を右に並べた順序で解を定義した場合、ψ は正しく定義されるが、|0,0⟩ において正規化条件 ψ†ψ = 1 が破綻し、原点でランク 0 の射影が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換空間上では非定数ランクの bundle を一貫して定義可能であり、その物理的関連性は何か？
• RQ2 非可逆作用素を含むゲージ変換が、非可換幾何学における bundle のランクにどのように影響するか？
• RQ3 非可換場の理論における U(1) instanton 解が非定数ランクを示すのはなぜか、そしてその背後にある代数的構造とは何か？
• RQ4 代数 A 内の射影作用素が非定数ランク bundle を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 ADHM 構成法は非可換空間へどのように一般化可能か？また、その構成が bundle 構造に課す制約は何か？

主な発見

• Nekrasov と Schwarz の U(1) instanton 解は、Fock 状態 |0,0⟩ を除いてランク 1、|0,0⟩ でランク 0 である射影モジュールに対応する。
• 正規化条件 ψ†ψ = 1 は f₀ の発散により |0,0⟩ で破綻するが、z-作用素を右に並べた順序で定義された状態 ψ は依然として well-defined である。
• 射影作用素 P = 1 - |0,0⟩⟨0,0| は bundle の物理的実現を果たし、ヒルベルト空間上で ψ†ψ = P となるため、bundle 構造が保たれる。
• 左逆元を持たないが右逆元を持つ作用素 U を用いたゲージ変換により、定数ランク bundle を非定数ランク bundle へ写像可能であり、これによりこのような bundle を含める数学的根拠が得られる。
• U(1) instanton の ADHM 構成では (2k + N) 次元の自明 bundle が得られ、解はランク N の射影モジュールを形成する。非定数ランクは解空間の構造に起因する。
• 非定数ランクは、Seiberg-Witten 写像を通じて、インスタントンを blown-up R⁴ 上の bundle として古典的に解釈することと関連している。