[論文レビュー] Twisted bundles and twisted K-theory

Max Karoubi|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、ねじれたベクトル bundle とねじれた主 bundle を用いて、ねじれたK理論の幾何的で束論的なアプローチを提示する。それぞれが代数束上の加群とねじれたtorsor にそれぞれ同型であることを示し、素朴なChern-Weil型の構成によりねじれたK理論からねじれたコホモロジーへのChern特徴子を確立する。この特徴子は、選択の自由度に関して自然同型の意味で不変であり、Connes-Karoubi特徴子と整合していることを証明する。

ABSTRACT

We offer here a more direct approach to twisted K-theory, based on the notion of twisted vector bundles (of finite or infinite dimension) and of twisted principal bundles. This is closeely related to the classical notion ot torsors and bundles of modules over an algebra bundle. Twisted K-theory is simply defined as the Grothendieck group of twisted vector bundles (with a given twist). The usual operations on vector bundles (exterior powers, Adams operations) are easily extended to this twisted framework. Graded twisted K-theory, which is important for the definition and proof of the Thom isomorphism in this framework, is defined with the same formalism. We also define a twisted Chern character with target "twisted cohomology". Although there are many definitions of this character in the literature, our method is more elementary and is based on the classical definitions of the Chern-Weil theory, via connections and curvatures. In this way, we get explicit formulas very much in the spirit of Steenrod's coordinate bundles.

研究の動機と目的

• ねじれたベクトルbundle を用いた、ねじれたK理論の幾何的で束に基づく定式化を提供すること。
• ねじれたベクトルbundle が、ファイバーが $\mathrm{End}(V)$ である代数束上の加群と同型であり、ねじれた主bundle が群束の下でのtorsor と同型であることを示すこと。
• 接続を用いて、ねじれたK理論からねじれたコホモロジーへのChern特徴子を定義し、選択の自由度に関して自然同型の意味で不変であることを示すこと。
• ねじれたK理論の函手的および乗法的構造、特に精錬とカップ積に関しての理解を明確にすること。
• ねじれたK理論およびChern特徴子の定義における曖昧さを、コホモロジー的依存関係とホモトピー不変性の分析により解消すること。

提案手法

• 2-コサイクル $\lambda$ による $S^1$ 値のČechコサイクルを用い、$g_{kj}g_{ji} = g_{ki}$ が $\lambda$ でずれる遷移関数によりねじれたベクトルbundle を定義する。
• $\lambda$-ねじれたコサイクルの構造を用いて、ねじれたベクトルbundle とファイバーが $\mathrm{End}(V)$ である代数束上の加群との同型を確立する。
• 有限次元および無限次元におけるねじれたベクトルbundle に接続を導入し、ねじれた設定におけるChern-Weil理論を一般化する。
• これらの接続の曲率形式を用いてChern特徴子を構成し、それがねじれたde Rhamコホモロジー $H_{\theta}^{ev}(X)$ に値をとることを示す。
• ねじれたコホモロジーのホモトピー不変性と、ファイバーごとのpartition of unity の再パrametrizationを用いて、Chern特徴子の選択依存性の不在を証明する。
• 異なる被覆間の制限写像を分析し、Chern特徴子が自然同型の意味で制限と可換であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれたK理論はどのようにねじれたベクトルbundle を用いて幾何的に実現可能であり、これは代数束上の加群カテゴリとどのように関係するか？
• RQ2 ねじれた主bundle と群束の下でのtorsor 間の明確な関係は何か？
• RQ3 分割関数のような補助的選択の自由度に依存しない形で、ねじれたK理論からねじれたコホモロジーへのChern特徴子を定義する方法は何か？
• RQ4 ねじれたK理論におけるカップ積構造はどの程度正しく定義されており、$H^2(X;\mathbb{Z})$ はその函手的性質においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 接続を用いて構成されたChern特徴子は、文献におけるConnes-Karoubi特徴子とどのように関係しているか？

主な発見

• ねじれたベクトルbundle は、ファイバーが $\mathrm{End}(V)$ である代数束上の加群と同型であり、ねじれたbundle の加群論的解釈を提供する。
• $\lambda$-ねじれた主 $G$-bundle のカテゴリは、ファイバーが $G$ である群束の下でのtorsor のカテゴリと同型であり、標準的な主bundle の概念を一般化する。
• ねじれたコホモロジーのホモトピー不変性のおかげで、Chern特徴子は分割関数の選択に依存せず、自然同型の意味で不変である。
• 接続を用いて構成されたChern特徴子は、AtiyahとSegalの研究における一意性結果により、Connes-Karoubi特徴子と一致する。
• カップ積 $K_\lambda(X) \times K_\mu(X) \to K_{\lambda\mu}(X)$ は、$H^2(X;\mathbb{Z}) = 0$ でない限り、非自然同型の意味でのみ正しく定義可能であり、これが主要な障害であることを示す。
• 被覆の違いに伴うねじれたK理論群間の制限写像は、被覆が精錬である場合に同型であり、Chern特徴子は自然同型の意味でこれらの写像と可換である。