[論文レビュー] Twisted conjugacy classes, coadjoint orbits of loop groups and D-branes in the WZW-model

S. Mohrdieck, Robert Wendt|ArXiv.org|Mar 10, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、コンパクトで単連結なリー群の積分的ねじれ付きおよびねじれなし共役類と、それに対応するねじれ付きおよびねじれなしアフィンリー代数の非自明な最高重量表現との間に幾何的対応を確立する。共役類上の積分性条件をループ群の共随伴軌道上のコhomological条件に翻訳することで、著者たちは幾何的量子化を用いて、このような類が自然にこれらの表現をパラメータ化することを示し、古典的なBorel-Weil-Bott対応をねじれ設定に一般化する。

ABSTRACT

We show that untwisted respectively twisted conjugacy classes of a compact and simply connected Lie group which satisfy a certain integrality condition correspond naturally to irreducible highest weight representations of the corresponding affine Lie algebra. Along the way, review the classification of twisted conjugacy classes of a simply connected compact Lie group $G$ and give a description of their stabilizers in terms of the Dynkin diagram of the corresponding twisted affine Lie algebra.

研究の動機と目的

• アフィンリー代数の積分的共役類と最高重量表現の間の対応関係を、ねじれ付き共役類の状況に一般化すること。
• ねじれ付きループ群の共随伴軌道と軌道法を用いて、この対応関係の幾何的説明を提供すること。
• 凸多面体とねじれ付きアフィン・ディンキン図を通じて、ねじれ付き共役類を分類すること。
• ねじれ付き共役類の安定化部分群を、ねじれ付きアフィン・ディンキン図の部分図に一致させること。
• 相対コhomologyを用いた量子化を可能にする、共役類上の明確な積分性条件を確立し、ユニタリ表現を導くこと。

提案手法

• 積分性条件は、G 上の標準的3形式ηと、dω = ι*η を満たす共役類上の2形式ωを含む3コサイクルの相対コhomology類を介して定義される。
• 著者たちはトランスグレッションを用いて、G からループ群L(G) への相対3コサイクルの上昇を行い、これによりねじれ付きループ群LGτの共随伴軌道と関連付ける。
• ねじれ付き共役類の分類は、ねじれ付きアフィン・ワイル群の基本領域として識別されることにより達成され、これはユークリッド空間内の凸多面体である。
• ねじれ付き共役類の安定化部分群は、ねじれ付きアフィン・ディンキン図の部分図に一致する部分群に対応することが示された。
• 長完全系列を用いて、共役類上のファイバー空間のホモトピー群を計算し、ファイバーの単連結性を証明することで、共随伴軌道における2次サイクルの構成を可能にする。
• 幾何的量子化により、LGτの共随伴軌道から得られる表現が、アフィンリー代数の非自明な最高重量表現に一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで単連結なリー群におけるねじれ付き共役類を幾何的にどのように分類できるか。また、それらはねじれ付きアフィンリー代数の構造とどのように関係するか。
• RQ2 共役類上の明確な積分性条件とは何か。それは幾何的量子化による量子化を保証するものである。
• RQ3 ねじれ付き共役類の安定化部分群は、対応するねじれ付きアフィンリー代数の根系とどのように関係するか。
• RQ4 共役類の積分性と最高重量表現の間の対応関係を、ループ群の共随伴軌道を用いて、ねじれなしの場合からねじれ付きの場合に拡張できるか。
• RQ5 3コサイクル (η, ω) の相対コhomology類が、どの共役類がユニタリ表現を生成するかを決定する上で果たす役割は何か。

主な発見

• コンパクトで単連結なリー群Gにおける積分的ねじれ付き共役類は、対応するねじれ付きアフィンリー代数の非自明な最高重量表現と一対一に対応する。
• ねじれ付き共役類の集合は、ユークリッド空間内の凸多面体によってパラメータ化され、これはねじれ付きアフィン・ワイル群の基本領域である。
• ねじれ付き共役類の安定化部分群は、自己同型τに関連するねじれ付きアフィン・ディンキン図の部分図に一致するGの連結部分群である。
• 各安定化部分群の基本群は自明であり、ループ群から共役類への評価写像のファイバーは単連結であるため、共随伴軌道における閉じた2次サイクルの構成が可能になる。
• 共役類上の積分性条件—相対3コサイクルa(η, ω) がH³(G, C) において整数クラスを定義すること—は、レベルaが整数であることと同値であり、関連するループ群の共随伴軌道が前量子線形束をもつことを保証する。
• ねじれ付きループ群LGτの共随伴軌道の幾何的量子化により、アフィンリー代数の非自明な最高重量表現が得られ、ねじれなしのBorel-Weil-Bott対応が一般化される。