[論文レビュー] Twisted conjugacy classes of automorphisms of Baumslag-Solitar groups

Alexander Fel’shtyn, Daciberg Lima Gonçalves|ArXiv.org|May 31, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、$|m| \neq |n|$ または $|m| = |n| > 1$、および $mn = -1$ の場合に、 Baumslag-Solitar 群 $B(m,n)$ のすべての自己同型が無限大のリーデマイスター数を持つことを確立し、この群の族に対してフェルシュチンとヒルの予想を確認した。証明は、商群への誘導された自己同型の分析と、自由群の自己準同型の性質に依存している。

ABSTRACT

Let $ϕ:G o G$ be a group endomorphism where $G$ is a finitely generated group of exponential growth, and denote by $R(ϕ)$ the number of twisted $ϕ$-conjugacy classes. Fel'shtyn and Hill \cite{fel-hill} conjectured that if $ϕ$ is injective, then $R(ϕ)$ is infinite. This conjecture is true for automorphisms of non-elementary Gromov hyperbolic groups, see \cite{ll} and \cite {fel:1}. It was showed in \cite {gw:2} that the conjecture does not hold in general. Nevertheless in this paper, we show that the conjecture holds for the Baumslag-Solitar groups $B(m,n)$, where either $|m|$ or $|n|$ is greater than 1 and $|m| e |n|$. We also show that in the cases where $|m|=|n|>1$ or $mn=-1$ the conjecture is true for automorphisms. In addition, we derive few results about the coincidence Reidemeister number.

研究の動機と目的

• 有限生成群の指数的成長を持つ単射自己準同型は、常に無限大のリーデマイスター数を持つという予想を、 Baumslag-Solitar 群に対して検証すること。
• $m,n$ のどのパラメータ値に対して、$B(m,n)$ の自己同型の下でリーデマイスター数 $R(\phi)$ が無限大になるかを特定すること。
• 単射自己準同型のペアに対する一致リーデマイスター数の分析を拡張すること。
• 群の商と誘導された準同型が、ねじれ共役類の無限性を示す際に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• $m,n \neq 0$ の場合の Baumslag-Solitar 群 $B(m,n) = \langle a,b \mid a^{-1}b^m a = b^n \rangle$ の構造を分析する。
• $|m| \neq |n|$ の場合、$B(m,n)$ の単射自己準同型は、$F \rtimes \mathbb{Z}_k$ に同型な商群に自己同型を誘導することを用いる。
• 特に、有限ランクの自由群の単射自己準同型が無限大のリーデマイスター数を誘導することを示す、自由群自己準同型に関する結果を適用する。
• 問題を商群への誘導写像の研究に還元し、自己同型の下で不変な特定の部分群の性質を利用する。
• 短完全系列と商群の分析を用いて、核から全群への性質の転送を行う。
• 特に、自由群の特性部分群と自己同型に関する補題 2.4 を適用し、$R(\phi)$ の無限大を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $|m| \neq |n|$ のとき、$B(m,n)$ のすべての自己同型が無限大のリーデマイスター数を持つだろうか？
• RQ2 $|m| > 1$ のとき、$B(m,m)$ の自己同型のリーデマイスター数は何か？
• RQ3 $|m| \neq |n|$ のとき、$B(m,n)$ の単射自己準同型のペアに対して、一致リーデマイスター数は無限大のままだろうか？
• RQ4 $B(m,n)$ の自己同型に関する結果を、単射自己準同型へと拡張できるだろうか？
• RQ5 $|m| > 1$ のとき、$B(m,m)$ の単射自己準同型のペアに対して、一致リーデマイスター数は無限大だろうか？

主な発見

• $|m| \neq |n|$ かつ $mn \neq 0$ のとき、$B(m,n)$ のすべての単射自己準同型が無限大のリーデマイスター数を持つ。
• $|m| = |n| > 1$ のとき、$B(m,n)$ のすべての自己同型が無限大のリーデマイスター数を持つ。
• $mn = -1$ のとき、$B(m,n)$ のすべての自己同型が無限大のリーデマイスター数を持つ。
• $|m| \neq |n|$ かつ $mn \neq 0$ のとき、$B(m,n)$ の任意の単射自己準同型のペアに対して、一致リーデマイスター数は無限大である。
• $B(m,m)$ の自己同型に関する結果は、有限ランクの自由群の単射自己準同型が無限大のリーデマイスター数を誘導するという仮定に依存しており、一般の場合には未解決のままである。
• 証明の技法は、$F$ を有限ランクの自由群とするとき、$F \rtimes \mathbb{Z}_k$ という商群への誘導写像の研究に問題を還元し、自己同型の下で不変な特定の部分群の性質を利用している。