[論文レビュー] Twisted conjugacy in free groups and Makanin's question

Valerij G. Bardakov, L. A. Bokut+1 more|ArXiv.org|Jan 26, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ある非ゼロのべきが内部自己同型であるような自己同型（＝ほぼ内部自己同型）に対して、自由群におけるMakaninのねじれ共役問題に対するアルゴリズム的解決を提供する。$\varphi$-ねじれ共役に関する正規形の有限集合を構成し、辞書式最小化を用いることで、$\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$ となる $m \geq 1$ が存在するとき、$F_n$ における方程式 $\varphi(X)U = VX$ の可解性が決定可能であることを証明する。主な貢献は、この自己同型クラスに対する構成的決定手続きの確立である。

ABSTRACT

We discuss the following question of G. Makanin from ``Kourovka notebook'': does there exist an algorithm to determine is for an arbitrary pair of words $U$ and $V$ of a free group $F_n$ and an arbitrary automorphism $ϕ\in Aut(F_n)$ the equation $ϕ(X) U = V X$ solvable in $F_n$? We give the affirmative answer in the case when an automorphism is virtually inner, i.e. some its non-zero power is an inner automorphism of $F_n$.

研究の動機と目的

• 自由群 $F_n$ における任意の自己同型 $\varphi$ に対して、方程式 $\varphi(X)U = VX$ の可解性が決定可能かどうかという G. Makanin の問いを解決すること。
• 自由群において、特にほぼ内部自己同型である自己同型に対して、共役問題の可解性をねじれ共役の設定へ拡張すること。
• ある $m \geq 1$ に対して $\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$ が成り立つとき、$F_n$ におけるねじれ共役方程式 $\varphi(X)U = VX$ に対して解が存在するかを判定するアルゴリズム的手順を構築すること。
• 自由群における $\varphi$-ねじれ共役類に対して、正規形を定義し、それを用いて意思決定問題を有限探索に還元すること。

提案手法

• $\varphi$-ねじれ共役を、ある $W$ に対して $\varphi(W')U = VW$ が成り立つとき $W \sim_{\varphi} W'$ と定義し、古典的共役を一般化する。
• すべての $W$ が $V$ と $\varphi$-ねじれ共役であるような集合 $D(V)$ を導入し、ほぼ内部自己同型の場合にそれが有限であることを証明する。
• 単語の先頭部および末尾部の $\varphi$-シフトを用いた還元プロセスを構築し、$D(V)$ 内の同値代表元を生成する。
• $\varphi$-削減可能および巡回的 $\varphi$-削減可能な単語を定義し、重複する表現を排除し、有限性を保証する。
• 削減済み単語に対する辞書式順序を用いて、一意な最小代表元（正規 $\varphi$-ねじれ共役形 $\overline{V}$ と呼ぶ）を選択する。
• 二つの要素 $U$ と $V$ が $\varphi$-ねじれ共役であるための必要十分条件が、それらの正規形 $\overline{U}$ と $\overline{V}$ が同一であることであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $U, V \in F_n$ および $\varphi \in \text{Aut}(F_n)$ に対して、方程式 $\varphi(X)U = VX$ が $F_n$ で解をもつかを決定するアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 自己同型 $\varphi$ がほぼ内部的である、すなわちある $m \geq 1$ に対して $\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$ が成り立つとき、ねじれ共役問題は決定可能になるか？
• RQ3 ほぼ内部的条件の下で、自由群における $\varphi$-ねじれ共役類に対して正規形を構築可能か？
• RQ4 ねじれ共役方程式の可解性は、入力単語の正規形が同一であることと同値か？

主な発見

• ある $m \geq 1$ に対して $\varphi^m \in \text{Inn}(F_n)$ が成り立つすべての自己同型 $\varphi$ に対して、自由群 $F_n$ におけるねじれ共役問題は決定可能である。
• 自己同型 $\varphi$ がほぼ内部的であるとき、単語 $V$ のすべての $\varphi$-ねじれ共役 $D(V)$ は有限である。
• 各 $V$ に対して、$D(V)$ の代表元の辞書式最小化により、一意な正規 $\varphi$-ねじれ共役形 $\overline{V}$ が構成可能である。
• 二つの要素 $U$ と $V$ が $\varphi$-ねじれ共役であるための必要十分条件は、それらの正規形 $\overline{U}$ と $\overline{V}$ が同一であることである。
• アルゴリズム的手順は、$\varphi$-シフトと還元を用いて $D(V)$ 内のすべての可能な代表元を生成し、終了を保証する。
• この解決法は、ほぼ内部自己同型条件の下で、自由群における古典的共役アルゴリズムをねじれ共役の設定へ一般化する。