[論文レビュー] Twisted conjugacy separable groups

Alexander Fel’shtyn, Evgenij Troitsky|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、群におけるねじれ共役類が有限群への準同型によって区別可能であるという性質であるねじれ共役分離性の概念を導入し、考察する。主な貢献は、多項式的可解的有限群が強くねじれ共役分離的であることを証明したことである。これは、ねじれDehn共役問題の決定可能性を示し、有限のリーデマイスター数をもつ有限生成の残余有限群に対してねじれBurnside-Frobenius定理を確立する。

ABSTRACT

We study the notion of twisted conjugacy separability (essentially introduced in our previous paper for a proof of twisted version of Burnside-Frobenius theorem) and some related properties. We give examples of groups with and without this property and study its behavior under some extensions. An affirmative answer to the twisted Dehn conjugacy problem for polycyclic-by-finite group is obtained. Some problems for the further study are indicated.

研究の動機と目的

• ねじれ共役分離性の概念を形式化し、自己同型の下でのねじれ共役類への共役分離性の拡張を研究すること。
• 自己同型のリーデマイスター数が、有限次元ユニタリ双対上の誘導写像の固定点の数に一致する条件を確立すること。
• 群の拡大におけるねじれ共役分離性の振る舞いを調査し、この性質を持つ・持たない群のクラスを特定すること。
• 多項式的可解的有限群および関連クラスに対してねじれDehn共役問題を解けるかを解決すること。
• ねじれ共役分離性、残余有限性、およびリーデマイスター数の有限性の間の関係を明確にすること。

提案手法

• φ-共役分離性およびねじれ共役分離性の概念を導入し、有限商によるねじれ共役類の分離を定義することで定義する。
• 群Γ = G ⋊ ℤの半直積構成を用いて、Gにおけるφ-共役をΓにおける通常の共役に帰着させ、分離性の性質を移す。
• プロフィニート位相および有限次元表現論を用いて、ユニタリ双対の構造とその上の誘導写像を分析する。
• バナッハ空間の双対性およびℓ¹(G)とℓ∞(G)の構造を用いて、ねじれ不変汎関数の余次元とリーデマイスター数を関連付ける。
• マリーチェフの共役分離性の証明法をねじれの場合に適応し、ねじれDehn共役問題の決定可能性を証明する。
• 群代数ℂ[F]を行列代数に分解することで、双対上の誘導写像の固定点数を計算し、リーデマイスター数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 φ-共役分離性は、R(φ) < ∞ を満たす自己同型φと群Gに対して、残余有限性を意味するか？
• RQ2 リーデマイスター数R(φ) < ∞ を満たす自己同型φが存在するとき、ねじれ共役分離性は残余有限性を意味するか？
• RQ3 有限生成の残余有限群は、リーデマイスター数が有限である自己同型φに対して常にφ-共役分離的か？
• RQ4 多項式的可解的有限群に対してねじれDehn共役問題は解けるか？
• RQ5 有限生成の残余有限群でリーデマイスター数が有限である場合、ねじれBurnside-Frobenius定理は成立するか？

主な発見

• 多項式的可解的有限群は強くねじれ共役分離的であり、すべてのねじれ共役類が有限商によって区別可能である。
• 多項式的可解的有限群におけるねじれDehn共役問題は、その強いねじれ共役分離性のおかげで解ける。
• R(φ) < ∞ を満たす有限生成の残余有限群に対して、ねじれBurnside-Frobenius定理が成り立つ：R(φ)は、有限次元ユニタリ双対上の誘導写像の固定点の数に等しい。
• 正規部分群が有限生成かつ特徴的で、商が有限生成FC群であるような拡大において、ねじれ共役分離性は保たれる。
• HNN、イワノフ、オシン群は、ねじれ共役分離性が成り立たない反例を示しており、この性質が普遍的ではないことを示している。
• リーデマイスター数が有限である有限生成の残余有限群におけるφ-共役分離性の証明は、ねじれ不変汎関数の有限余次元と、それらが有限商に引き上げられることに依存している。