[論文レビュー] Twisted cyclic theory and an index theory for the gauge invariant KMS state on Cuntz algebras

Alan L. Carey, Jessica Phillips+1 more|ArXiv.org|Jan 30, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、保証不変KMS状態のモジュラー自己同型群から導かれるねじれ循環コホモロジーを用いて、クンツ代数のための新しいインデックス理論を展開する。修正された $K_1$-群とスペクトルフロー公式を導入することで、トレースに依存しないペアリングを確立し、アラキの相対エントロピーと関連づけ、タイプIII非可換多様体の枠組みを提供する。

ABSTRACT

This paper presents, by example, an index theory appropriate to algebras without trace. Whilst we work exclusively with the Cuntz algebras the exposition is designed to indicate how to develop a general theory. Our main result is an index theorem (formulated in terms of spectral flow) using a twisted cyclic cocycle where the twisting comes from the modular automorphism group for the canonical gauge action on the Cuntz algebra. We introduce a modified $K_1$-group of the Cuntz algebra so as to pair with this twisted cocycle. As a corollary we obtain a noncommutative geometry interpretation for Araki's notion of relative entropy in this example. We also note the connection of this example to the theory of noncommutative manifolds.

研究の動機と目的

• トレースを持たないC*-代数へのインデックス理論の拡張を、クンツ代数をモデルとして行う。
• トレースが存在しない状況において、KMS状態とスペクトルフローを用いて非自明なインデックスペアリングを定義する。
• モジュラー自己同型群から生じるねじれ残留コホモロジーとペアリングするように、修正された $K_1$-群を導入する。
• アラキの相対エントロピーをスペクトルフローと非可換幾何学の観点から解釈する。
• モジュラースペクトル三重対が、非可換多様体のためのコンネスの公理のねじれ版を満たすことを確立する。

提案手法

• 自然なガウジ作用とその関連するモジュラー自己同型群を用いて、クンツ代数上にモジュラースペクトル三重対を構成する。
• 半有限残留構成を用いて、トレースの代わりにKMS状態に適応したねじれ循環コホモロジーを定義する。
• 通常の $K_1$ の代わりにペアリングに用いるために、「モジュラー $K_1$」と呼ばれる新しい半群を導入する。
• 標準的ディクスミエトレースの代わりにKMS-ディクスミエ機能を用いるスペクトルフロー公式を導出する。
• マッピングコーン代数の構成を用いて、インデックスペアリングをKK理論に関連づけ、カスパロフモジュールの枠組みを拡張する。
• モジュラースペクトル三重対が、ねじれホッフシュチルサイクルによる可換性を含む、コンネスの公理のねじれ版を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレースが非自明に存在しないC*-代数、例えばクンツ代数に対して、インデックス理論をどのように一般化できるか。
• RQ2 モジュラー自己同型群は、トレースに依存しないインデックスペアリングを構成する上で果たす役割は何か。
• RQ3 KMS状態の文脈において、スペクトルフローはアラキの相対エントロピーの概念とどのように関係するか。
• RQ4 モジュラースペクトル三重対は、非可換多様体のためのコンネスの公理のねじれ版を満たすか。
• RQ5 新しいインデックス不変量と既存の $KK$-理論的または半有限インデックス理論との関係は何か。

主な発見

• 微分作用素 $\mathcal{D}$ から $u\mathcal{D}u^*$ へのスペクトルフローは $\frac{1}{\log n} S(\psi_u, \psi)$ に等しく、相対エントロピーがスペクトルフローに比例することを示している。
• 相対エントロピー $S(\psi_u, \psi)$ は $-(\log n) \cdot \psi(u[\mathcal{D}, u^*])$ として与えられ、明示的にねじれインデックスペアリングと結びついている。
• ねじれホッフシュチルサイクル $c = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n S_j^* \otimes S_j$ はねじれ可換性条件を満たし、$\mathcal{H}$ 上の恒等写像を表す。
• モジュラースペクトル三重対は、標準的summabilityを除き、非可換多様体のすべての公理を満たす。代わりに $\mathcal{L}^{(1,\infty)}$-summability が用いられる。
• $K_1$-値インデックスペアリングはスペクトルフロー公式により計算され、不変量は通常の $K_1$ ではなく修正された $K_1$-群に属する。
• 公式 $\lim_{s\to 1^+} (s-1) \widehat{\tau}(\Psi(a)(1+\mathcal{D}^2)^{-s/2}) = 2\psi(a) > 0$ により、モジュラー設定におけるある種のsummabilityが確認された。