[論文レビュー] Twisted Gromov-Witten r-spin potential and Givental's quantization

A Chiodo, Dimitri Zvonkine|ArXiv.org|Nov 2, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ケーラー多様体への安定写像上のrスピン構造に対して、普遍スピンバンドルのプッシュフォワードのチャーン類を含めたねじれGromov-Witten汎関数を導入する。Giventalの量子化形式を用いて、ねじれ汎関数が、ねじれなしrスピン汎関数から単純な微分作用素を介して得られることを示し、Faber-Pandharipandeの結果をrスピン設定に一般化し、ねじれなしの場合を超えるrスピン不変量を体系的に計算する手法を提供する。

ABSTRACT

The universal curve p:C->\Mbar over the moduli space \Mbar of stable r-spin maps to a target Kähler manifold X carries a universal spinor bundle L->C. Therefore the moduli space \Mbar itself carries a natural K-theory class Rp_*L. We introduce a twisted r-spin Gromov-Witten potential of X enriched with Chern characters of Rp_*L. We show that the twisted potential can be reconstructed from the ordinary r-spin Gromov-Witten potential of X via an operator that assumes a particularly simple form in Givental's quantization formalism.

研究の動機と目的

• ねじれGromov-Witten汎関数のFaber-Pandharipandeの公式をrスピン構造の設定へ拡張すること。
• 安定rスピン写像のモジュライ空間上でのK理論的クラス $ R\tilde{\rho}_*\tilde{\frak{L}} $ のチャーン類を組み込んだねじれrスピンGromov-Witten汎関数を定義すること。
• Giventalの形式における量子化作用素を介して、ねじれ汎関数がねじれなしrスピン汎関数から得られることを示す再構成定理を確立すること。
• Mumfordのホッジバンドルのチャーン類の公式を、有理数の引数におけるベルヌーイ多項式を用いてrスピン設定へ一般化すること。

提案手法

• 普遍曲線 $ \tilde{\rho}: \overline{\mathcal{C}} \to \overline{\mathcal{M}} $ 上に普遍rスピン構造 $ \tilde{\frak{L}} $ を定義し、K理論的クラス $ R\tilde{\rho}_*\tilde{\frak{L}} $ を得る。
• 変数 $ s_d $ を用いて $ R\tilde{\rho}_*\tilde{\frak{L}} $ のチャーン類を追跡することで、標準Gromov-Witten汎関数と結合させ、ねじれrスピンGromov-Witten汎関数を構成する。
• Grothendieck-Riemann-Rochの公式を用いて、$ \mathrm{ch}_d(R\tilde{\rho}_*\tilde{\frak{L}}) $ を $ \kappa_d $、$ \psi $-類、および有理数のベルヌーイ数 $ B_{d+1}(m/r) $ を含む境界寄与項で表現する。
• Giventalの量子化形式を適用し、ハミルトニアン $ P_d $ に $ q_a^{\mu \otimes m} $ および $ p_{a,\mu \otimes m} $ 変数を含む生成作用素 $ L_d $ をウェイル量子化として特定する。
• ハミルトニアン $ P_d $ が誘導する無限小シンプレクティック変換が、$ \frac{z^d}{(d+1)!} \cdot \mathrm{id} \otimes \mathrm{diag}\bigl[B_{d+1}(1/r), \dots, B_{d+1}((r-1)/r)\bigr] $ による乗法作用に一致することを示す。
• ねじれ汎関数が、$ L_d $ の和の指数関数としてねじれなしrスピン汎関数から再構成されることを証明し、rスピン設定における普遍的な再構成公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍スピンバンドルのプッシュフォワードのチャーン類を用いて、rスピン構造のねじれGromov-Witten汎関数をどのように定義できるか。
• RQ2 Giventalの形式において、ねじれrスピン汎関数とねじれなしのものとの関係を示す微分作用素の正確な形は何か。
• RQ3 有理数の引数におけるベルヌーイ多項式を用いて、Mumfordのホッジバンドルのチャーン類の公式がrスピン設定へどのように一般化されるか。
• RQ4 全ねじれrスピン汎関数が、ねじれなし汎関数から量子化作用素を用いて再構成可能か。その構造は何か。
• RQ5 作用素 $ L_d $ がフォック空間上で果たすシンプレクティック作用は何か。また、ハミルトニアン $ P_d $ とどのように関係しているか。

主な発見

• ねじれrスピンGromov-Witten汎関数は、Giventalの量子化形式において単純な形をとる作用素を介して、ねじれなしrスピン汎関数から再構成される。
• 鍵となる作用素 $ L_d $ は、ベルヌーイ多項式 $ B_{d+1}(m/r) $ を含むハミルトニアン $ P_d $ から導出され、rスピン構造の寄与を符号化する。
• ハミルトニアン $ P_d $ が誘導する無限小シンプレクティック変換は、$ \frac{z^d}{(d+1)!} \cdot \mathrm{id} \otimes \mathrm{diag}\bigl[B_{d+1}(1/r), \dots, B_{d+1}((r-1)/r)\bigr] $ による乗法作用に一致し、rスピンの精緻化を明らかにする。
• チャーン類の公式における境界寄与項は、境界除集合上の $ \psi $-類の積の $ j_* $-プッシュフォワードで表現され、係数に $ B_{d+1}(q/r) $ を含む。
• 境界上の仮想基本クラスは、低(genus)のrスピンモジュライ空間の積を含む因数分解公式により分解され、再帰的計算が可能になる。
• 本研究の全構成は、Faber-Pandharipandeの結果をrスピン不変量へ一般化し、ねじれなしのものからねじれrスピン不変量を体系的に計算する手法を提供する。