[論文レビュー] Twisted K-homology theory, twisted Ext-theory

Varghese Mathai, I. M. Singer|ArXiv.org|Dec 6, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、C*-代数的非可換幾何におけるねじれK-ホモロジーおよびねじれExt理論の枠組みを構築し、3次元コhomology類 H ∈ H³(X,ℤ) をバンドルのねじれを介して組み込むことで、古典的K-ホモロジーおよびExt理論を一般化する。ねじれK-ホモロジーが C₀(X,ℰₕ) のねじれK-理論と同型であることが確立され、スピンᶜ多様体、ねじれバンドル、X への連続写像を備えたねじれK-サイクルを用いたバウム＝ダグラス型の位相的記述がなされる。同値関係はバーディズム、直和、およびねじれバンドルの変更に基づく。

ABSTRACT

These are notes on twisted K-homology theory and twisted Ext-theory from the C*-algebra viewpoint, part of a series of talks on ``C*-algebras, noncommutative geometry and K-theory'', primarily for physicists.

研究の動機と目的

• H ∈ H³(X,ℤ) で分類されるHフラックスを伴う非可換幾何におけるK-ホモロジーおよびExt理論を、C*-代数を用いてねじれ設定に拡張すること。
• C₀(X,ℰₕ) のK-理論としてねじれK-ホモロジーのC*-代数的定式化を提供すること。ここで ℰₕ はDixmier-Douady類 [H] を持つコンパクト作用素のバンドルである。
• 通常のバウム＝ダグラスモデルをねじれの場合に一般化した、ねじれK-サイクルを用いたねじれK-ホモロジーの位相的記述を確立すること。
• KasparovのKK理論フレームワークを用いて、ねじれExt群 Ext(C₀(X,ℰₕ), ℂ) がねじれK-理論群 K₀(X,[H]) と同型であることを示すこと。

提案手法

• C₀(X,ℰₕ) を用い、ファイバーが ℒ(ℋ) で構造群が PU であるバンドル ℰₕ の、無限遠で消える連続切断のC*-代数。[H] ∈ H³(X,ℤ) で分類される。
• C₀(X,ℰₕ) への拡張を分類するBusby不変量を用いて、ねじれK-ホモロジーを C₀(X,ℰₕ) のK-理論として定義する。
• M をコンパクトなスピンᶜ多様体、E をクラス [H] を持つM上のねじれバンドル、φ: M → X を連続写像とするねじれK-サイクル (M, E, φ) を構成する。
• バーディズム、直和、および偶数次元スピンᶜバンドルの球面バンドルを用いたねじれバンドルの変更に基づく同値関係をねじれK-サイクルに定義する。
• KK⁰(C₀(X,ℰₕ), ℂ) と K₀(X,[H]) の同型を用いて、ねじれK-ホモロジーをXのねじれK-理論と特定する。
• ボット周期性および C₀(X,ℰₕ) 上のFredholmモジュールの分類を用いて、ねじれExt理論をねじれK-ホモロジーと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明なHフラックスが存在する状況で、K-ホモロジーはどのようにねじれ設定に一般化できるか？
• RQ2 ねじれK-ホモロジーのC*-代数的定式化は何か？ そして、ねじれK-理論とどのように関係するか？
• RQ3 通常のK-ホモロジーのバウム＝ダグラスモデルに類似した、ねじれK-ホモロジーの位相的モデルを構築できるか？
• RQ4 ねじれExt群 Ext(C₀(X,ℰₕ), ℂ) はねじれK-理論およびKK理論とどのように関係するか？
• RQ5 ねじれK-サイクルに適切な同値関係は何か？ それらはwell-definedなねじれK-ホモロジー群をもたらすか？

主な発見

• j=0,1 に対して、ねじれK-ホモロジー Kₜⱼ(X,[H]) は C₀(X,ℰₕ) のK-理論と同型であり、Kⱼ(X,[H]) に一致する。
• ねじれK-ホモロジー群 K₀ᵗ(X,[H]) は、バーディズム、直和、およびねじれバンドルの変更による同値関係を modulo した、偶数次元ねじれK-サイクルの商群に同型である。
• ねじれExt群 Ext(C₀(X,ℰₕ), ℂ) は、KK理論の同型 KK⁰(C₀(X,ℰₕ), ℂ) ≅ K₀(X,[H]) を用いて、K₀(X,[H]) と同型である。
• C₀(X,ℰₕ) 上のFredholmモジュールは、F が奇数、自己随伴であり、すべての a ∈ C₀(X,ℰₕ) に対して (F²−1)φ(a) および [F,φ(a)] が ℳ に属する三つ組 (ℋ, φ, F) である。このようなモジュールは K₀ᵗ(X,[H]) の元を分類する。
• 偶数次元スピンᶜバンドルの球面バンドルを用いて定義されるねじれバンドルの変更操作は、ねじれK-サイクルの同値類を保存し、位相的モデルにおいて本質的である。
• H=0 のとき、ねじれK-ホモロジーは通常のK-ホモロジーに還元され、ℰₕ が X×ℳ となり C₀(X,ℰₕ) ≅ C₀(X)⊗ℳ となるため、標準的なバウム＝ダグラスモデルが回復される。