[論文レビュー] Twisted longitudinal index theorem for foliations and wrong way functoriality

Paulo Carrillo Rouse, Bai‐Ling Wang|arXiv (Cornell University)|May 20, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、変形量子化とConnesの接群族を用いて、foliation（葉層構造）に対してねじれのある縦断的インデックス定理を確立し、Connes-Skandalisのインデックス定理をねじれK理論へ一般化する。滑らかな写像によるねじれK理論における誤った方向の函手的押し出し写像（pushforward）を構成し、函手的性質を証明するとともに、元の未ねじれおよび多様体の場合の既知の結果を回復する。

ABSTRACT

For a Lie groupoid G with a twisting (a PU(H)-principal bundle over G), we use the (geometric) deformation quantization techniques supplied by Connes tangent groupoids to define an analytic index morphism in twisted K-theory. In the case the twisting is trivial we recover the analytic index morphism of the groupoid. For a smooth foliated manifold with twistings on the holonomy groupoid we prove the twisted analog of Connes-Skandalis longitudinal index theorem. When the foliation is given by fibers of a fibration, our index coincides with the one recently introduced by Mathai-Melrose-Singer. We construct the pushforward map in twisted K-theory associated to any smooth (generalized) map $f:W\longrightarrow M/F$ and a twisting $σ$ on the holonomy groupoid $M/F$, next we use the longitudinal index theorem to prove the functoriality of this construction. We generalize in this way the wrong way functoriality results of Connes-Skandalis when the twisting is trivial and of Carey-Wang for manifolds.

研究の動機と目的

• 葉層構造上のねじれK理論の設定において、Connes-Skandalisの縦断的インデックス定理を拡張すること。
• 変形量子化と接群族構成を用いて、ねじれを伴うLie群族に対して、ねじれK理論における解析的インデックス写像を定義すること。
• 多様体から葉層空間への滑らかな写像に対して、ねじれK理論における誤った方向の函手的性質（押し出し）を定義し、それを確立すること。
• Connes-Skandalis（未ねじれの場合）およびCarey-Wang（ねじれ多様体の場合）の結果を、葉層構造の設定へ一般化すること。
• 葉層構造における幾何的Kホモロジーのねじれアセンブリマップの基礎を築き、S¹-可換インデックスと関連付けること。

提案手法

• Connesの接群族構成を用いて、正規化の方向への変形を介して、ねじれLie群族に対する解析的インデックス写像を定義する。
• 幾何的変形量子化技術を適用し、リー代数のK理論からねじれ群族C*-代数のK理論へのねじれ解析的インデックスを定義する。
• 滑らかな写像を部分被覆を通しに因数分解し、部分被覆に関するねじれK理論における押し出しを用いることで、ねじれK理論における押し出し写像を構成する。
• 位相的K理論におけるトム同型とボット周期性を用いて、位相的インデックスと葉層C*-代数のK理論を関連付ける。
• 因数分解の合成と[7]（Carey-Wang）における押し出しの函手的性質を用いて、押し出しの函手的性質を証明する。
• 葉層的開近傍のC*-代数と横断的関数の無限遠で消失する関数の間のモリタ同倣に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Connes-Skandalisの縦断的インデックス定理は、葉層構造上のねじれK理論の場合にどのように一般化できるか？
• RQ2 ねじれを伴うLie群族に対して、ねじれK理論における解析的インデックス写像の正しい定式化は何か？
• RQ3 多様体から葉層空間への滑らかな写像に対して、ねじれK理論における誤った方向の函手的性質（押し出し）をどのように定義し、証明できるか？
• RQ4 ねじれインデックス構成が、未ねじれの場合（Connes-Skandalis）およびねじれ多様体の場合（Carey-Wang）の既知の結果をどのように回復するか？
• RQ5 接群族と変形量子化は、ねじれインデックスおよび押し出し写像を構成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、ねじれσを伴うLie群族に対して、ねじれ解析的インデックス写像を構成し、未ねじれの場合を一般化するとともに、σが自明な場合にはConnes-Skandalisのインデックスを回復する。
• ねじれ縦断的インデックス定理が証明された：葉層構造上の多様体において、ねじれK理論において解析的インデックスは位相的インデックスに等しい。
• 任意の滑らかな写像f:W→M/Fに対して、ホロノミー群族にねじれσが存在する場合、部分被覆への因数分解を用いてねじれK理論における押し出し写像を定義する。
• 押し出し写像が函手的であることが証明された：可換な滑らかな写像の合成に対して(f∘g)_! = f_! ∘ g_! が成り立つ。
• σが自明で、fがK-向き付け可能であれば、構成はConnes-Skandalisの押し出しを回復する。
• 葉層が1つの葉しか持たない場合（すなわちM/Fが多様体である場合）、構成はCarey-Wangが定義したねじれK理論における押し出しに還元される。