[論文レビュー] Quantization and the tangent groupoid

N.P. Landsman|ArXiv.org|Aug 2, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 42被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コンネスの接バンドル群族を介して、$C^*$-代数的変形量子化と非可換幾何学の間に深い関係を確立し、アティヤ＝シンガーの指数定理が幾何学的量子化の枠組みから導かれる方法を示している。解析的アセンブリーマップがE理論におけるWeyl–Moyal量子化の等長的一般化であることを示し、接バンドル群族のK理論的構造とドウム同型を用いて指数定理を証明している。

ABSTRACT

This is a survey of the relationship between C*-algebraic deformation quantization and the tangent groupoid in noncommutative geometry, emphasizing the role of index theory. We first explain how C*-algebraic versions of deformation quantization are related to the bivariant E-theory of Connes and Higson. With this background, we review how Weyl--Moyal quantization may be described using the tangent groupoid. Subsequently, we explain how the Baum--Connes analytic assembly map in E-theory may be seen as an equivariant version of Weyl--Moyal quantization. Finally, we expose Connes's tangent groupoid proof of the Atiyah--Singer index theorem

研究の動機と目的

• 非可換幾何学における$C^*$-代数的変形量子化と接バンドル群族の関係を明確化すること。
• バウム＝コンヌの解析的アセンブリーマップが、等長的設定におけるWeyl–Moyal量子化をどのように一般化するかを示すこと。
• 接バンドル群族とK理論同型を用いた、アティヤ＝シンガーの指数定理の概念的証明を提供すること。
• E理論と連続的$C^*$-代数の族を通じて、変形量子化、指数論理、非可換位相幾何学を統一すること。

提案手法

• コンネスの接バンドル群族の構成を用い、シンプレクティック多様体の量子代数への変形を連続的$C^*$-代数族によってモデル化する。
• 双不変E理論（コンネス–ハイソン）を用い、$C^*$-代数的変形量子化を位相的K理論と関連付ける。
• 接バンドル群族$T_{G_M}(P)$を$[0,1]$上でのリー群族バンドルとして構成し、$\hbar=0$におけるファイバーが$P \times \mathbb{R}^{2k}$、$\hbar>0$におけるファイバーが$P \rtimes G_M$となるようにする。
• $P \rtimes G_M$と軌道空間$\underline{B}G_M = \{0\} \times T(\nu(M)) \cup (0,1] \times \mathbb{R}^{2k}$との間にモリタ同値を確立し、K理論同型を可能にする。
• ボット周期性とドウム同型を用い、$K^*(T^*M)$と$K^*(T(\nu(M)))$、$K^*(\mathbb{R}^{2k})$を関連付ける。
• 図式$\alpha^*$、$\mathcal{Q}_*$、$\hat{\mathcal{Q}}_*$を含む可換図式により、インデックス写像$\mathrm{a\mbox{-}ind} = \mathrm{t\mbox{-}ind}$を示し、指数定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接バンドル群族は、$C^*$-代数的変形量子化をどのように幾何学的に実現するか？
• RQ2 バウム＝コンヌの解析的アセンブリーマップは、どのようにWeyl–Moyal量子化の等長的一般化として機能するか？
• RQ3 アティヤ＝シンガーの指数定理は、接バンドル群族とK理論同型を用いてどのように導かれるか？
• RQ4 E理論は、非可換幾何学における変形量子化と指数論理をどのように結びつけるか？
• RQ5 $M = \mathbb{R}^k$の場合に、古典的代数$C_0(\mathbb{R}^{2k})$と量子代数$B_0(L^2(\mathbb{R}^k))$のK理論が一致する理由は何か？

主な発見

• 接バンドル群族の構成により、$[0,1]$上に連続的$C^*$-代数族が得られ、$\hbar=0$におけるファイバーが古典的代数、$\hbar>0$におけるファイバーが量子代数に対応する。
• $T_{G_M}(P) \rtimes G_M$の$C^*$-代数は、$C^*(P \rtimes G_M) \otimes C_0(\mathbb{R}^{2k})$に同型であり、ボット周期性を用いたK理論の計算を可能にする。
• 解析的アセンブリーマップ$\mu: K^*_{\text{top}}(G_M) \to K^*_{r}(G_M)$は、コンネスのドウム同型と特定され、位相的K理論と還元的K理論を結びつける。
• 軌道空間$\underline{B}G_M$が$P \rtimes G_M$とモリタ同値であることが示され、$K^*(P \rtimes G_M) \cong K^*(\underline{B}G_M)$が得られ、したがって$K^*(G_M) \cong K^*(\underline{B}G_M)$が成り立つ。
• $\hbar=0$における同型$\alpha^*: K^*(T^*M) \to K^*(T(\nu(M)))$はドウム同型$\tau$であり、$\alpha^*_1: K_0(B_0(L^2(M))) \to K^0(\mathbb{R}^{2k})$は$\beta_k^{-1} \circ \mathrm{tr}$である。これはボット周期性と関連する。
• 可換図式$\alpha^*_1 \circ \mathcal{Q}_* = \hat{\mathcal{Q}}_* \circ \alpha^*_0$により$\mathrm{a\mbox{-}ind} = \mathrm{t\mbox{-}ind}$が導かれ、変形量子化を用いたアティヤ＝シンガーの指数定理の証明が成立する。