[論文レビュー] Twisted Morse complexes

Augustin Banyaga, David Hurtubise+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、閉多様体上の局所係数を用いたねじれモースホモロジーおよびコホモロジーを構築し、特異ホモロジーおよびコホモロジーと局所システムの同型を証明する。モース理論的バージョンのポincareの補題およびde Rhamの定理を確立し、ねじれモースコホモロジーがLichnerowiczコホモロジーと同型であることを示し、これらの道具を用いてノヴィコフ数を計算し、H-空間構造の障害を検出する。

ABSTRACT

In this paper we study Morse homology and cohomology with local coefficients, i.e. "twisted" Morse homology and cohomology, on closed finite dimensional smooth manifolds. We prove a Morse theoretic version of Eilenberg's Theorem, and we prove isomorphisms between twisted Morse homology, Steenrod's CW-homology with local coefficients for regular CW-complexes, and singular homology with local coefficients. By proving Morse theoretic versions of the Poincare Lemma and of the de Rham Theorem, we show that twisted Morse cohomology with coefficients in a local system determined by a closed 1-form is isomorphic to the Lichnerowicz cohomology obtained by deforming the de Rham differential by the 1-form. We demonstrate the effectiveness of twisted Morse complexes by using them to compute Lichnerowicz cohomology, to compute obstructions to spaces being associative H-spaces, and to compute Novikov numbers.

研究の動機と目的

• 閉滑らか多様体上での局所係数付きホモロジーおよびコホモロジーのモース理論的枠組みを構築すること。
• ねじれモースホモロジーがモース＝スメール対の選択に依存せず、局所システムの同型類にのみ依存することを証明すること。
• ねじれモースホモロジーと局所係数付き特異ホモロジー、およびスティーナロードのCWホモロジーとの同型を確立すること。
• 閉1次形式によって定義されるシステムに係数をとったねじれモースコホモロジーがLichnerowiczコホモロジーに同型であることを示すこと。
• 理論を用いてノヴィコフ数を計算し、結合的でないH-空間であるという障害を検出すること。

提案手法

• モース関数の臨界点と勾配フロー線を用い、アーベル群の局所システムに係数をとったねじれモース＝スメール＝ウィッテンチェーン複体を構成する。
• 局所システムの同型類にのみ依存し、モース＝スメール対の選択に依存しない不変性定理を証明する。
• 被覆空間を介してねじれホモロジーと等長ホモロジーを関連付けるEilenbergの定理のモース理論的バージョンを確立する。
• 閉1次形式$\eta$によって定まる局所システムに対し、ねじれモースコチェーン複体を定義し、Lichnerowiczコホモロジーへのチェーン写像を構成する。
• $\eta$-ねじれモース版のポincareの補題およびde Rhamの定理を証明し、モース複体とde Rham複体の準同型が成り立つことを保証する。
• ノヴィコフ環構造を用いてノヴィコフモジュールの局所システムを定義し、被覆空間の構成を介してノヴィコフホモロジーとねじれモースホモロジーを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モースホモロジーを局所係数を含む形に一般化する方法は何か？ また、その不変性の性質は何か？
• RQ2 ねじれモースホモロジーは局所係数付き特異ホモロジーと同型であるか？ これはスティーナロードのCWホモロジーとの比較によって示せるか？
• RQ3 ねじれモースコホモロジーはLichnerowiczコホモロジーと同一視できるか？ また、古典的定理（例：ポincareの補題、de Rhamの定理）のモース理論的類似がこれに支えるか？
• RQ4 ねじれモース複体を用いてノヴィコフ数を計算し、H-空間における非結合的性質といった位相的障害を検出できるか？
• RQ5 閉1次形式のノヴィコフ＝ベッチ数とねじれモース複体のオイラー特性の関係は何か？

主な発見

• 局所システム$G$に係数をとったねじれモースホモロジーは、局所係数付き特異ホモロジーと同型であり、この同型はモース＝スメール対の選択に依存しない。
• 閉1次形式$\eta$によって定まるシステムに係数をとったねじれモースコホモロジーは、Lichnerowiczコホモロジー$H^{\ast}_{-\eta}(M)$と同型であり、ポincareの補題およびde Rhamの定理のモース理論的バージョンによって保証される。
• genus 2 の曲面に対して、すべての閉1次形式についてLichnerowiczコホモロジーを明示的に計算し、$\eta$ が非正確でないとき$b_1(\eta) = 2$ かつ $k \neq 1$ のとき $b_k(\eta) = 0$ であることを示した。
• 閉1次形式のノヴィコフ数はねじれモースホモロジーを用いて計算され、任意の非正確な$\zeta$に対して$b_1(\zeta) = 2$ かつ $k \neq 1$ のとき $b_k(\zeta) = 0$ であることが確認され、非自明なノヴィコフ不等式が裏付けられた。
• ねじれモース複体は、特定の空間が結合的でないH-空間でないことを障害理論を用いて検出する。$H_0$の消失がその根拠となった。
• ねじれモース複体のオイラー特性は1次形式のホモトピーに対して不変であり、この不変性がノヴィコフ＝ベッチ数の計算に用いられた。