[論文レビュー] Twisted products and $SO(p) imes SO(q)$-invariant special Lagrangian cones

Mark Haskins, Nikolaos Kapouleas|arXiv (Cornell University)|May 9, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特筆すべきねじれ積構成を用いて、ℂ^{p+q}におけるSO(p)×SO(q)-不変特別ラグランジュ錐を構成し、以前のSO(2)-不変例を一般化する。主な貢献は、n≥4に対して特別ラグランジュおよびハミルトニアン定常錐が無限に多くの位相型を有することを証明し、n≥6では任意に高い次元の連続的族が存在することを示したことである。

ABSTRACT

We construct $\sorth{p} imes \sorth{q}$-invariant special Lagrangian (SL) cones in $\C^{p+q}$. These SL cones are natural higher-dimensional analogues of the $\sorth{2}$-invariant SL cones constructed previously by MH and used in our gluing constructions of higher genus SL cones in $\C^{3}$. We study in detail the geometry of these $\sorth{p} imes \sorth{q}$-invariant SL cones, in preparation for their application to our higher dimensional special Legendrian gluing constructions. In particular the symmetries of these cones and their asymptotics near the spherical limit are analysed. All $\sorth{p} imes \sorth{q}$-invariant SL cones arise from a more general construction of independent interest which we call the special Legendrian twisted product construction. Using this twisted product construction and simple variants of it we can construct a constellation of new special Lagrangian and Hamiltonian stationary cones in $\C^{n}$. We prove the following theorems: A. there are infinitely many topological types of special Lagrangian and Hamiltonian stationary cones in $\C^{n}$ for all $n\ge 4$, B. for $n\ge 4$ special Lagrangian and Hamiltonian stationary torus cones in $\C^{n}$ can occur in continuous families of arbitrarily high dimension and C. for $n\ge 6$ there are infinitely many topological types of special Lagrangian and Hamiltonian stationary cones in $\C^{n}$ that can occur in continuous families of arbitrarily high dimension.

研究の動機と目的

• 校正幾何における幾何的PDE接着法のための高次元構築ブロックを提供すること。
• ℂ^3におけるSO(2)-不変特別ラグランジュ錐を、任意のp,q≥1に対してℂ^{p+q}におけるSO(p)×SO(q)-不変錐に一般化すること。
• 今後の接着構成の応用を想定し、球面極限近辺におけるこれらの錐の対称性および漸近的性質を分析すること。
• 特別ラグランジュおよびラグランジュ錐に対して一般的なねじれ積構成を確立すること。
• ℂ^n（n≥4）において特別ラグランジュおよびハミルトニアン定常錐が無限族にわたり、n≥6では高次元モジュライを有することを示すこと。

提案手法

• 特別ラグランジュねじれ積と呼ばれる新しい幾何的構成を導入し、ℂ^{p+q}におけるSO(p)×SO(q)-不変特別ラグランジュ錐を生成する。
• 等長的微分幾何および対称性削減を用いて、錐幾何におけるSO(p)×SO(q)作用を分析する。
• 幾何解析およびキャリブレーション理論を用いて、球面極限近辺における錐の漸近的性質を研究する。
• ねじれ積構成を応用し、ℂ^nにおける新しい特別ラグランジュおよびハミルトニアン定常錐の例を生成する。
• キャリブレーション形式Re(Ω)を保存または反転する等長変換の構造を活用し、錐の対称性を分類する。
• SO(p)×SO(q)-不変錐が特別ラグランジュ条件から導かれるPDEの低次元化された系の解として現れることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のp,q≥1に対して、ℂ^{p+q}におけるSO(p)×SO(q)-不変特別ラグランジュ錐を体系的に構成可能か？
• RQ2 これらの錐の球面極限近辺における漸近的幾何的性質は何か？
• RQ3 これらの錐の対称性は、周囲のカラビ＝ヤウ空間の等長群とどのように関係するか？
• RQ4 ねじれ積構成は、高次元における特別ラグランジュおよびハミルトニアン定常錐の新しい族を生成可能か？
• RQ5 ℂ^n（n≥4）におけるこのような錐の空間の位相的およびモジュライ理論的構造は何か？

主な発見

• 本稿は、すべてのp,q≥1に対してℂ^{p+q}におけるSO(p)×SO(q)-不変特別ラグランジュ錐を構成し、以前のSO(2)-不変例を一般化している。
• ねじれ積構成は、ℂ^nにおける特別ラグランジュおよびハミルトニアン定常錐を生成する新しい方法をもたらす。
• n≥4では、ℂ^nにおける特別ラグランジュおよびハミルトニアン定常錐が無限に多くの位相型を有する。
• n≥6では、任意に高い次元の連続的族として現れる、このような錐の無限に多くの位相型が存在する。
• n≥4では、特別ラグランジュおよびハミルトニアン定常トーラス錐が、任意に高い次元の連続的族として存在する。
• 錐の等長群には、特別ラグランジュおよび反特別ラグランジュ等長変換が含まれており、後者はキャリブレーション形式Re(Ω)を反転する。