[論文レビュー] Twistor spaces for hyperkaehler implosions

Andrew Dancer, Frances Kirwan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$K\times T\times\mathrm{SU}(2)$-同変な埋め込みを、$\mathrm{SU}(n)$の普遍ハイパーカイリィアンインプロージョン$Q$を複素アフィン空間$\mathcal{R}$に、モーメント写像と基本的表現を用いて構成する。さらに、twistor空間$\mathcal{Z}_Q$から$\mathbb{P}^1$上のベクトル束への一般に単射な正則写像を定義し、ハイパートーリック多様体と根平面の配置を用いてインプロージョンの構造を明らかにする。この構成は、他のコンパクト群への一般化への道筋を示している。

ABSTRACT

We study the geometry of the twistor space of the universal hyperkaehler implosion Q for SU(n). Using the description of Q as a hyperkaehler quiver variety, we construct a holomorphic map from the twistor space Z_Q of Q to a complex vector bundle over P^1, and an associated map of Q to the affine space R of the bundle's holomorphic sections. The map from Q to R is shown to be injective and equivariant for the action of SU(n) x T^{n-1} x SU(2). Both maps, from Q and from Z_Q, are described in detail for n=2 and n=3. We explain how the maps are built from the fundamental irreducible representations of SU(n) and the hypertoric variety associated to the hyperplane arrangement given by the root planes in the Lie algebra of the maximal torus. This indicates that the constructions might extend to universal hyperkaehler implosions for other compact groups.

研究の動機と目的

• ハイパーカイリィアンインプロージョンの構成を$\mathrm{SU}(n)$を超えて他のコンパクトリー群に一般化すること。
• 普遍ハイパーカイリィアンインプロージョン$Q$のtwistor空間$\mathcal{Z}_Q$の幾何的記述を提供すること。
• $K\times T\times\mathrm{SU}(2)$-同変な埋め込みを、基本的表現とモーメント写像を用いて$Q$を複素アフィン空間$\mathcal{R}$に埋め込むこと。
• $\mathcal{R}$における$Q$の像が、最大トーラス内の根平面に関連するハイパートーリック多様体の$K_{\mathbb{C}}$-スイープの閉包であることを示すこと。
• twistor空間の埋め込みを通じて、ハイパーカイリィアンインプロージョンの構成を任意のコンパクト群に拡張する基盤を築くこと。

提案手法

• ハイパーカイリィアン構造と$\mathbb{P}^1$によってパrameter化される複素構造を用いて、ハイパーカイリィアンインプロージョン$Q$のtwistor空間$\mathcal{Z}_Q$から$\mathbb{P}^1$上の複素ベクトル束への正則写像を構成する。
• $Q$のハイパーカイリィアンクイバー多様体としての記述$ (T^*K_{\mathbb{C}})_{\mathrm{hkimpl}} $を用いて、埋め込み$\sigma: Q \to \mathcal{R}$を定義する。
• $\mathcal{R}$を、$\mathbb{P}^1$上のバンドルの正則切断の空間として定義する。具体的には、$ H^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(2) \otimes (\mathfrak{k}_{\mathbb{C}} \oplus \mathfrak{t}_{\mathbb{C}}) \oplus \bigoplus_{j=1}^{\dim V_{\varpi}-1} \mathcal{O}(\ell_j) \otimes \wedge^j V_{\varpi}) $。
• $\sigma: Q \to \mathcal{R}$が単射かつ$K\times T\times\mathrm{SU}(2)$-同変であることを、モーメント写像と$\mathrm{SU}(n)$の基本的不可約表現の作用を用いて確立する。
• 根平面が$\mathfrak{t}$に属するハイパートーリック多様体の像を$\sigma$のもとで記述し、それが$\mathcal{R}$に写り、かつその$K_{\mathbb{C}}$-スイープが$\mathcal{R}$で稠密であることを示す。
• $n=2$および$n=3$に対して構成を明示的に拡張し、低ランクの場合の写像と対称性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍ハイパーカイリィアンインプロージョンのtwistor空間は、$\mathbb{P}^1$上のベクトル束の正則部分多様体として記述可能か？
• RQ2 表現論とモーメント写像を用いて、ハイパーカイリィアンインプロージョン$Q$を複素アフィン空間$\mathcal{R}$に同変に埋め込む方法は何か？
• RQ3 最大トーラス内の根平面に関連するハイパートーリック多様体が、インプロージョン$Q$の再構成において果たす役割は何か？
• RQ4 $\mathcal{R}$における$Q$の像が、根平面に関連するハイパートーリック多様体の$K_{\mathbb{C}}$-スイープの閉包であるという構成は、他のコンパクトリー群へ一般化可能か？
• RQ5 $Q$上の複素構造を回転させる$\mathrm{SU}(2)$-作用が、$\mathcal{R}$への埋め込みとどのように作用するか？

主な発見

• $\sigma: Q \to \mathcal{R}$は単射かつ$K\times T\times\mathrm{SU}(2)$-同変であり、普遍ハイパーカイリィアンインプロージョンの具体的な実現を複素アフィン空間に与える。
• twistor空間$\mathcal{Z}_Q$は、$\mathrm{SU}(2)$-回転による複素構造と埋め込み$\sigma$を用いて、$\mathbb{P}^1$上のベクトル束への一般に単射な正則写像をもつ。
• $n=2$および$n=3$の場合、$Q$および$\mathcal{Z}_Q$からの写像が明示的に記述されており、低ランクの場合の一般構成が確認されている。
• $\mathcal{R}$における$Q$の像は、$\mathfrak{t}$内の根平面に関連するハイパートーリック多様体の像の$K_{\mathbb{C}}$-スイープの閉包である。これにより、$Q$の幾何的再構成が確立される。
• この構成は、$\mathrm{SU}(n)$の基本的不可約表現と、最大トーラスのリー代数内の超平面配置に依存しており、他のコンパクト群への一般化を示唆している。
• 本稿は、普遍インプロージョンを$K_{\mathbb{C}}$-表現空間$\mathcal{R}$に埋め込み、そのtwistor空間を分析することで、ハイパーカイリィアンインプロージョンを任意のコンパクトリー群に拡張するための枠組みを提供する。