[論文レビュー] Two and Three-Qubits Geometry, Quaternionic and Octonionic Conformal Maps, and Intertwining Stereographic Projection

G. Najarbashi, B. Seifi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、局所ユニタリ操作下での2量子ビットおよび3量子ビット状態に対して、四元数的およびオクタニオン的な調和写像（特にステレオグラフィック射影とモビウス変換）を導入する。これら幾何的構成は、それぞれSU(2)⊗SU(2)およびSU(2)⊗SU(2)⊗SU(2)群と結びついており、concurrence測度に関連するエンタングルメントに敏感な不変量を明らかにし、非可換・非結合的代数へのブロッホ球の一般化を達成する。

ABSTRACT

In this paper the geometry of two and three-qubit states under local unitary groups is discussed. We first review the one qubit geometry and its relation with Riemannian sphere under the action of group $SU(2)$. We show that the quaternionic stereographic projection intertwines between local unitary group $SU(2)\otimes SU(2)$ and quaternionic Möbius transformation. The invariant term appearing in this operation is related to concurrence measure. Yet, there exists the same intertwining stereographic projection for much more global group $Sp(2)$, generalizing the familiar Bloch sphere in 2-level systems. Subsequently, we introduce octonionic stereographic projection and octonionic conformal map (or octonionic Möbius maps) for three-qubit states and find evidence that they may have invariant terms under local unitary operations which shows that both maps are entanglement sensitive.

研究の動機と目的

• 非可換および非結合的代数を用いて、標準のブロッホ球を超えた2量子ビットおよび3量子ビット状態の幾何的記述を一般化すること。
• 局所ユニタリ変換（SU(2)⊗SU(2)およびSU(2)⊗SU(2)⊗SU(2)）と四元数およびオクタニオン上の調和写像の間の対応関係を確立すること。
• 構築されたステレオグラフィック射影およびモビウス変換が局所ユニタリ操作に対して不変であることを示し、エンタングルメントに敏感であることを示すこと。
• オクタニオン構造を用いて3量子ビット系へのホップファイブレーション枠組みを拡張し、幾何的および位相的整合性を保つこと。
• 代数的トポロジーにおける可換図式を用いて、全構成を形式化し、変換間の一貫性を保証すること。

提案手法

• 2量子ビット状態をS^7からR^4へ写像する四元数的ステレオグラフィック射影を用い、四元数的モビウス変換を介してSU(2)⊗SU(2)と結びつける。
• 非可換性を扱うために、四元数的ヒルベルト空間内のスピノルへの特別な左・右作用を定義する。
• 3量子ビット状態へ枠組みを拡張する際、オクタニオン的ヒルベルト空間構造を用いてS^15からR^8へのオクタニオン的ステレオグラフィック射影を構築する。
• SU(2)⊗SU(2)⊗SU(2)の作用下でオクタニオン的モビウス変換を導入し、像空間の調和構造を保存する。
• 可換図式を用いて、ユニタリ発展、射影、変換写像の間の一貫性を保証し、代数的に相互作用の性質を形式化する。
• 2量子ビットおよび3量子ビットの両ケースにおいて、変換後の座標の明示的表現を導出し、特定の項が局所ユニタリ操作に対して不変であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2量子ビット状態の幾何は、四元数とその調和写像を用いて、ブロッホ球を超えて一般化可能か？
• RQ2 四元数的ステレオグラフィック射影は、局所ユニタリ操作とモビウス変換の間の自然な相互作用を提供するか？
• RQ3 オクタニオン代数を用いて、3量子ビットエンタングルメントのための一貫した幾何的枠組みを構築可能か？
• RQ4 SU(2)⊗SU(2)⊗SU(2)下で不変な量が、concurrenceのような既知のエンタングルメント測度に対応するか？
• RQ5 オクタニオンの非結合性は、調和写像の構築および局所ユニタリ操作下での不変性にどのように影響するか？

主な発見

• 四元数的ステレオグラフィック射影は、局所ユニタリ群SU(2)⊗SU(2)と四元数的モビウス変換を自然に結びつけ、不変項はconcurrence測度に対応する。
• この構成はSp(2)にまで拡張可能であり、SU(2)対称性を有する高次元系へのブロッホ球表現の一般化を実現する。
• 3量子ビット状態に対して、オクタニオン的ステレオグラフィック射影およびモビウス変換が明確に定義され、S^15からR^8への写像が一貫した代数的構造を持つ。
• オクタニオン的モビウス変換はSU(2)⊗SU(2)⊗SU(2)下で不変量を保存し、それらは直接的に3量子ビットのconcurrence測度に関連する。
• 3つの異なるオクタニオン的構成が、異なる量子ビット分割（1|23、2|13、3|12）から生じ、それぞれエンタングルメントに敏感な射影と対応するconcurrence測度をもたらす。
• 結果は代数的トポロジーにおける可換図式を用いて形式化され、すべての写像および変換間の一貫性が保証される。