[論文レビュー] Two-colored noncommutative Gerstenhaber formality and infinity Duflo isomorphism

Johan Alm|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、Lie代数 $\mathfrak{g}$ の対称代数 $S(\mathfrak{g})$ と普遍包あらゆる代数 $U(\mathfrak{g})$ のChevalley-Eilenbergコchain代数の間の明示的な $A_\infty$ quasi-isomorphism を構成する。これはDuflo-Kontsevich同型の一般化である。新しい三色配置空間オペラッド $\overline{CF}(\mathbf{H})$ を用いて、Kontsevichの形式的性を、双色非可換Gerstenhaberホモトピー代数の quasi-isomorphism に拡張し、多様体場のホモトピー非自明な作用をホモトピー導分として含む。

ABSTRACT

Using new configuration spaces, we give an explicit construction that extends Kontsevich's Lie-infinity quasi-isomorphism from polyvector fields to Hochschild cochains to a quasi-isomorphism of A-infinity algebras equipped with actions by homotopy derivations of the Lie algebra of polyvector fields. One may term this formality a formality of two-colored noncommutative Gerstenhaber homotopy algebras. In our result the action of polyvector fields by homotopy derivations of the wedge product on polyvector fields is not the adjoint action by the Schouten bracket, but a homotopy nontrivial and, in a sense, unique deformation of that action. As an application we give an explicit Duflo-type construction for Lie-infinity algebras that generalizes the Duflo-Kontsevich isomorphism between the Chevalley-Eilenberg cohomology of the symmetric algebra on a Lie algebra and the Chevalley-Eilenberg cohomology of the universal enveloping algebra of the Lie algebra.

研究の動機と目的

• Kontsevichの $L_\infty$ 形式的性マップを、多様体場のLie代数によるホモトピー導分の作用を備えた $A_\infty$ 代数の quasi-isomorphism に拡張すること。
• Lie-infinity代数のためのDuflo同型の強いホモトピー版を構成し、$S(\mathfrak{g})$ と $U(\mathfrak{g})$ のChevalley-Eilenbergコhomology間のDuflo-Kontsevich同型を一般化すること。
• Duflo-Kontsevich同型が、標準的なChevalley-Eilenbergコchain代数 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ と $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 間の $A_\infty$ quasi-isomorphism に普遍的に持ち上げられることはないことを示すこと。
• 境界に平行な直線を持つ、コンパクト化された配置空間をモデル化する三色オペラッド $\overline{CF}(\mathbf{H})$ を導入し、精密化された形式的構造を可能にする。

提案手法

• 上半平面に点と境界に平行な直線を持つ、コンパクト化された配置空間の新しい三色オペラッド $\overline{CF}(\mathbf{H})$ を導入し、Kontsevichの $\overline{C}(\mathbf{H})$ を一般化する。
• 基本的チェーンを用いて、$\mathcal{K}(\overline{CF}(\mathbf{H})) \to \mathrm{End}(T_{\text{poly}}, T_{\text{poly}}, \mathcal{O})$ の表現を構成し、二色非可換 $G_\infty$ 代数のための形式的データを符号化する。
• Kontsevichと同様の技法を用いて、$L_\infty$ マップ $T_{\text{poly}} \to C^\bullet(T_{\text{poly}}, T_{\text{poly}})$ を定義し、随伴作用を拡張する。また、$A_\infty$ 代数の間の $T_{\text{poly}} \to C^\bullet(\mathcal{O}, \mathcal{O})$ の準同型を、ホモトピー導分を備えて定義する。
• Chevalley-Eilenbergコchain代数 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ の普遍的かつ一般にホモトピー非自明な $A_\infty$ 変形 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}}$ を定義し、そのコhomology上でDuflo-Kontsevich同型を実現する。
• コhomology上でDuflo-Kontsevich同型を誘導する、$C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}} \to C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ の $A_\infty$ quasi-isomorphism を確立する。
• 準同型 $f: \mathcal{NCG}_\infty \to \mathcal{P}$ の変形複体 $\mathrm{Def}(f)$ を分析し、Lie構造と結合的構造、およびそれらの相互作用をオペラッド的導分を用いて成分に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kontsevichの形式的性マップは、多様体場のLie代数によるホモトピー導分の作用を備えた $A_\infty$ 代数の quasi-isomorphism に拡張可能か？
• RQ2 Lie-infinity代数のためのDuflo同型の強いホモトピー版は存在するか？ これは、$S(\mathfrak{g})$ と $U(\mathfrak{g})$ 間のChevalley-Eilenbergコhomology間のDuflo-Kontsevich同型を一般化する。
• RQ3 Duflo-Kontsevich同型は、標準的なChevalley-Eilenbergコchain代数 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ と $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 間の $A_\infty$ quasi-isomorphism に持ち上げられるか？
• RQ4 三色配置空間オペラッド $\overline{CF}(\mathbf{H})$ は、二色非可換Gerstenhaberホモトピー代数の構造をどのように符号化するか？

主な発見

• 本稿は、コhomology上でDuflo-Kontsevich同型を誘導する、Chevalley-Eilenbergコchain代数 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}}$ と $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 間の明示的な $A_\infty$ quasi-isomorphism を構成する。
• Exotic変形 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))_{\text{exotic}}$ は、$C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}})$ 上の普遍的かつ一般にホモトピー非自明な $A_\infty$ 構造であり、標準的な微分付き代数構造とは異なる。
• Duflo-Kontsevich同型は、標準的なChevalley-Eilenbergコchain代数 $C(\mathfrak{g}, S(\mathfrak{g}))$ と $C(\mathfrak{g}, U(\mathfrak{g}))$ 間の $A_\infty$ quasi-isomorphism に普遍的に持ち上げられない。これはホモトピー構造の非自明性に起因する。
• 三色オペラッド $\overline{CF}(\mathbf{H})$ は、二色非可換Gerstenhaberホモトピー代数の形式的性を幾何学的にモデル化する。これはKontsevichの元々の構成を一般化する。
• 多様体場の多様体場への作用は、Schouten括弧による随伴作用ではないが、そのホモトピー非自明な変形であり、ある意味で一意的である。
• 準同型 $f: \mathcal{NCG}_\infty \to \mathcal{P}$ の変形複体 $\mathrm{Def}(f)$ は、チェーン複体として写像 $\rho^f$ のコーンと同型であり、可換なリー代数として半直積 $\mathrm{Def}(\lambda^f) \ltimes \mathrm{Def}(\mu^f)$ と同型である。