[論文レビュー] Two-dimensional Anomaly, Orbifolding, and Boundary States

Ken Kikuchi, Yang Zhou|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 43被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2次元有理的 conformal field theories (RCFTs) における異常、軌道化の障害、境界状態の不変性の間の関係を、トーラス上への対称性ラインの挿入を分析することによって確立する。非自明なサイクルに沿った対称性ラインの非可換性を用いて、離散的グローバル対称性の異常を検出する基準を提案し、Wess-Zumino-Witten モデルにおいて、異常なし、軌道化可能、および $G$-不変境界状態の存在という3つが同値であることを示す。

ABSTRACT

We study anomalies of discrete internal global symmetry $G$ in two-dimensional rational conformal field theories based on twisted torus partition functions. The anomaly of $G$ can be seen from the noncommutativity of two symmetry lines inserted along the nontrivial cycles of two-torus and we propose a criterion to detect the anomaly, which agrees with the truncated modular $S$-matrix approach. The obstruction for orbifolding has been recently interpreted as a mixed anomaly between $G$ and large diffeomorphisms. We clarify the relations among anomaly-free conditions, orbifoldable conditions, and invariant boundary state condition, focusing on Wess-Zumino-Witten models.

研究の動機と目的

• 2次元 RCFTs におけるグローバル対称性の異常、軌道化可能性、不変境界状態の間の相互作用を明確化すること。
• ねじれたトーラス分配関数を用いて、離散的グローバル対称性における異常を検出する幾何学的・代数的基準を提供すること。
• 異常なしの条件が、WZW モデルにおける軌道化可能性および不変境界状態の存在の条件と一致することを示すこと。
• モジュラー $S$-行列と二次形式を通じて、異常、軌道化障害、境界状態不変性の概念を統合すること。

提案手法

• トーラスの非自明なサイクルに沿って挿入された対称性ラインの非可換性を分析して異常を検出する。
• 異常基準の検証に、切断されたモジュラー $S$-行列アプローチを適用する。
• アフィンリー代数から導かれる二次形式を用いて、異常なしの位相条件を計算する。
• $D_{2l}$ および $D_{2l+1}$ 型 WZW モデルにおける $k \in 2\mathbb{Z}$ の条件を導出し、異常なしと境界状態不変性を保証する。
• $Ch$-不変境界状態の存在と、軌道化における $T$-変換の整合性の間の同値性を確立する。
• 主な重み $P^k_+$ 上での明示的計算により、群作用の下での不変境界状態を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元 RCFTs における離散的グローバル対称性の異常は、トーラス上に挿入されたトポロジカルな欠損ラインを用いてどのように検出できるか？
• RQ2 WZW モデルにおける異常なし、軌道化可能、不変境界状態の存在の間の明確な関係は何か？
• RQ3 $D_{2l}$ および $D_{2l+1}$ 型モデルにおいて、なぜ $k \in 2\mathbb{Z}$ が異常なしおよび境界状態不変性に必要となるのか？
• RQ4 トーラス上での対称性ラインの非可換性は、3次元の Chern-Simons 理論におけるリンク性と同一の情報をどのように符号化するか？
• RQ5 $Ch$-不変境界状態の存在は、軌道化における $T$-変換の整合性と同値であるか？

主な発見

• 2次元 RCFTs における離散的グローバル対称性 $G$ の異常は、トーラスの2つのサイクルに沿った $G$-対称性ラインの非可換性によって検出される。
• 提案された異常基準は、切断されたモジュラー $S$-行列アプローチと完全に一致し、従来の手法と整合性を確認する。
• $D_{2l}$ および $D_{2l+1}$ 型 WZW モデルにおいて、条件 $k \in 2\mathbb{Z}$ が異常なしおよび $G$-不変境界状態の存在を保証する。
• $D_{2l}$ モデルにおける $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 行動による軌道化可能性についても、$k \in 2\mathbb{Z}$ が必要かつ十分条件である。
• $k=2$ に対して明示的な不変境界状態 $\hat{\mu}_{\text{I.B.}}^{(2)} = [0;0,1,0,\dots,0,1,0,0]$ が $D_{2l}$ モデルで構成される。
• $Ch$-不変境界状態の存在は、$D_{2l}$ モデルにおける $H = \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ の場合に、軌道化における $T$-変換の整合性と同値である。