[論文レビュー] Two-dimensional QCD on the sphere and on the cylinder

Michele Caselle, A. D’Adda+2 more|ArXiv.org|Sep 20, 1993

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 2被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、スカラー場の固有値が円上に配置されるサザーランドフェルミオンを表すカザコフ＝ミガル行列模型にインspiredされた双対的・逆結合展開を用いて、球面および円筒面上での2次元QCDを定式化する。固有値分布が半円型である場合の大N極限における分配関数およびイツィクソン＝ズーバー積分を導出し、球面上のダグラス＝カザコフ転移に類似した相転移が、固有値半径がπを超えると円筒面上でも発生することを明らかにする。

ABSTRACT

The partition functions of QCD2 on simple surfaces admit representations in terms of exponentials of the inverse coupling, that are modular transforms of the usual character expansions. We review the construction of such a representation in the case of the cylinder, and show how it leads to a formulation of QCD2 as a $c=1$ matrix model of the Kazakov-Migdal type. The eigenvalues describe the positions of $N$ Sutherland fermions on a circle, while their discretized momenta label the representations in the corresponding character expansion. Using this language, we derive some new results: we give an alternative description of the Douglas-Kazakov phase transition on the sphere, and we argue that an analogous phase transition exists on the cylinder. We calculate the large $N$ limit of the partition function on the cylinder with boundary conditions given by semicircular distributions of eigenvalues, and we find an explicit expression for the large $N$ limit of the Itzykson-Zuber integral with the same boundary conditions. (Talk given at the ``Workshop on high energy physics and cosmology'' at Trieste, July 1993.)

研究の動機と目的

• 球面および円筒面上のQCD2分配関数に対して、標準的なキャラクター展開とは補完的である双対的・逆結合展開を構築すること。
• QCD2を円筒面上で定式化した場合、固有値が円上に制約されたc=1型カザコフ＝ミガル行列模型と等価であることを確立すること。
• 円筒面上のQCD2核の大N極限を、半円型の固有値境界条件のもとで解析すること。
• 球面上のダグラス＝カザコフ転移に類似した相転移が円筒面上に存在することを特定および特徴づけること。
• 同じ境界条件のもとで、イツィクソン＝ズーバー積分の大N極限に対する明示的表現を導出すること。

提案手法

• モジュラー双対性を用いて、QCD2分配関数を逆結合の指数関数として表現し、標準的キャラクター展開とは双対的な形にすること。
• QCD2を円筒面上で定式化し、固有値を円上に配置した1次元カザコフ＝ミガル模型に写像し、これによりサザーランドフェルミオンを表現すること。
• ダス＝ジェビツキのハミルトニアンおよびホフ方程式を用いて、固有値密度の時間発展を記述すること。
• 初期・最終分布が半円型である条件下で、微分方程式 r̈ + 4/r³ = 0 に従う固有値半径 r(t) の古典的軌道を解くこと。
• 軌道に沿った古典的作用 S_class を計算し、大N分配関数を exp(-N²S_class) として決定すること。
• マティツィンの固有値進化に関する結果を応用して、一般の境界条件へと解を一般化し、大N極限におけるイツィクソン＝ズーバー積分を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面上のダグラス＝カザコフ転移に類似した相転移が、2次元QCDにおける円筒面上でも発生するか？
• RQ2 境界で半円型の固有値分布を示す円筒面上のQCD2分配関数の大N極限は何か？
• RQ3 大N極限におけるサザーランド模型のダイナミクスのもとで、固有値密度は時間とともにどのように変化するか？
• RQ4 双対的展開を用いて、半円型の固有値分布をもつ場合にイツィクソン＝ズーバー積分を大N極限で計算可能か？
• RQ5 固有値半径がπを超えることが、円筒面上の相転移を引き起こす役割を果たすか？

主な発見

• 固有値半径 r(t) がπに達するとき、球面上のダグラス＝カザコフ転移に類似した相転移が円筒面上に発生する。
• 円筒面上のQCD2核の大N極限は、exp(-N²S_class) で与えられ、ここで S_class は固有値軌道に沿った古典的作用である。
• 固有値半径は r(t) = 2√[(t+α)(β−t)/(α+β)] に従い、α および β は境界条件 r(0)=γ₀ および r(𝒜)=γ₁ によって決定される。
• 固有値密度の解は、f(λ,t) = v(λ,t) + iπρ(λ,t) を満たすホフ方程式を満たしており、ダス＝ジェビツキのハミルトニアンと整合的であることが確認された。
• 半円型の固有値分布をもつ場合のイツィクソン＝ズーバー積分の大N極限は、(1/N²)ln I_IZ = -1/2 ln(1/2 + ½√(1 + γ₀²γ₁²/4)) - ½(1 - √(1 + γ₀²γ₁²/4)) + O(1/N) で与えられる。
• γ₀ = γ₁ の場合、この式はグロス（1993年）の結果に簡約され、既存の文献と整合的であることが確認された。