[論文レビュー] Two Forms of Proximal Physical Geometry. Axioms, Sewing Regions Together, Classes of Regions, Duality, and Parallel Fibre Bundles

James F. Peters|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、点ではなく領域を原始的要素とする2種類の近接物理幾何学—強い近接および記述的近接—を導入する。領域はRⁿ内の特徴ベクトルで記述され、近接関係（記述的近接および強い近接を含む）が適用され、領域に基づく幾何学の公理が確立される。主な貢献は、領域に基づくボルスウラの定理およびストリングとワールドシートのためのワイヤードフレンド定理であり、幾何的構造が特徴空間内の不動点と結びつけられる。

ABSTRACT

This paper introduces two proximal forms of Lenzen physical geometry, namely, an \emph{axiomatized strongly proximal physical geometry} that is built on simplicial complexes with the dualities and sewing operations derived from string geometry and an \emph{axiomatized descriptive proximal physical geometry} in which spatial regions are described based on their features and the descriptive proximities between regions. This is a computational proximity approach to a Lenzen geometry of physical space. In both forms of physical geometry, region is a primitive. Intuitively, a region is a set of connected subregions. The primitive in this geometry is \emph{region}, instead of \emph{point}. Each description of a region with $n$ features is a mapping from the region to a feature vector in $\mathbb{R}^n$. In the feature space, proximal physical geometry has the look and feel of either Euclidean, Riemannian, or non-Euclidean geometry, since we freely work with the relations between points in the feature space. The focus in these new forms of geometry is the relation between individual regions with their own distinctive features such as shape, area, perimeter and diameter and the relation between nonempty sets of regions. The axioms for physical geometry as well as the axioms for proximal physical geometry are given and illustrated. Results for parallel classes of regions, descriptive fibre bundles and BreMiller-Sloyer sheaves are given. In addition, a region-based Borsuk-Ulam Theorem as well as a Wired Friend Theorem are given in the context of both forms of physical geometry.

研究の動機と目的

• 領域（点ではなく）を基本的実体とする領域ベースの物理幾何学の構築を目的とする。
• 強い近接（単体複体と強い重なりに基づく）および記述的近接（特徴記述と記述的近接に基づく）の2形式の近接物理幾何学を形式化すること。
• 両形式の公理を確立し、縫い合わせ操作、双対性、およびファイバー束構造を統合すること。
• 領域ベースの幾何フレームワーク内での新定理（ボルスウラの定理およびワイヤードフレンド定理）の導入と証明を行うこと。
• 特徴ベクトルの写像とストリングやワールドシートなどの位相的構造を通じて、計算的近接と物理幾何学を統合すること。

提案手法

• 特徴ベクトルΦを介してRⁿに写像されるn特徴記述を持つ領域を原始的実体として定義する。
• 強い近接δ̂を用い、領域間の重なり（共通境界を持つ非空の共通部分）を強い近接幾何学でモデル化する。
• 共有される特徴ベクトルに基づく記述的近接δΦを導入し、記述に基づく領域関係を可能にする。
• k単体（頂点、辺、三角形、四面体）から単体複体を構築し、凸包を用いて有界領域を定義する。
• ストリングを幅のある空間的経路、ワールドシートをストリングで完全に被覆される領域としてモデル化し、被覆および包含の公理を適用する。
• ファイバー束および層構造（例：ブレーマー＝スロイアー層）を用い、共通する特徴を持つ領域の集合を構造化してモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理幾何学は、点ではなく領域を原始的要素として再定式化可能か？
• RQ2 単体複体と双対性に基づく強い近接物理幾何学を支える公理的体系は何か？
• RQ3 Rⁿ内の特徴ベクトルを用いて記述的近接を形式化し、空間的領域を記述できるか？
• RQ4 'ワイヤードフレンド'（固定された特徴記述を持つストリングまたはワールドシート）の幾何的・位相的意味は何か？
• RQ5 古典的定理（例：ボルスウラの定理）の領域ベースの類似定理が、この枠組み内で確立可能か？

主な発見

• 領域ベースのボルスウラの定理が確立され、任意の連続関数に対して、同一の特徴記述を持つ反対称領域のペアが存在することが示された。
• ストリングのワイヤードフレンド定理は、k特徴を持つすべてのストリングが、特徴空間内の半径r > 0の球Br,kに含まれる不動点に写像されることを証明した。
• ワールドシートのワイヤードフレンド定理は、この結果をワールドシートへ拡張し、k特徴を持つワールドシートが、Rᵏ内の球Br,k ⊂ Rᵏに記述g(wshA)として写像されることを示した。
• 逆楕円ノームm(q)によって定義されるスパイラル領域のクラスは、記述的近接クラスR_reAを形成し、類似した曲率と特徴プロファイルを共有する。
• 穴はその内部によって記述可能であることが示され、特徴写像ΦによるRⁿへの写像が確認され、トポロジー的空洞ですら記述可能であることが裏付けられた。
• 同一の端の色（例：緑）を持つ閉じた同心円領域は、記述的に近接する。RGB端部特徴が一致する場合、reA δΦ reEとして実証された。