[論文レビュー] Two Lectures on D-Geometry and Noncommutative Geometry

Michael R. Douglas|ArXiv.org|Jan 27, 1999

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 1被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、ストリング理論におけるD-braneが体験する幾何学、特に曲がった背景におけるD0-braneの有効計量を特徴づけるD幾何学を導入する。非可換幾何学、特に非可換トーラスがT双対性およびM理論のコンパクト化を記述する自然な枠組みを提供することを提唱する。主な結果として、小さなあるいは斜交的なトーラス上のD-braneから非可換ゲージ理論が生じ、これらの理論がSO(d,d;Z)対称性を示し、滑らかなインスタントンモジュライ空間を持つことが示されている。

ABSTRACT

This is a write-up of lectures given at the 1998 Spring School at the Abdus Salam ICTP. We give a conceptual introduction to D-geometry, the study of geometry as seen by D-branes in string theory, and to noncommutative geometry as it has appeared in D-brane and Matrix theory physics.

研究の動機と目的

• D-braneがストリング理論において体験する幾何学、特にD0-braneの観点からのD幾何学の概念的枠組みを構築すること。
• 非可換幾何学がストリング理論およびM理論の文脈において、従来の微分幾何学をどのように一般化するかを明らかにすること。
• D-brane上の非可換ゲージ理論とストリングコンパクト化のT双対性対称性との関係を確立すること。
• 非可換幾何学が、モジュライ空間における特異性や非局所的ストリング的効果を一貫して記述するための適切な言語を提供することを示すこと。
• 変形量子化および演算子展開が、M理論の非局所的構造を捉える役割を果たすかを調査すること。

提案手法

• D0-braneの有効作用は、$ g^{D}_{ij} $ という計量をもつシグマ模型として導出され、これがプローブが見るD幾何学計量を定義する。
• 波束条件およびWKB近似の下でD0-braneの量子力学を解析し、計量が適切に定義されることを保証する。これには $ l_R^2 \gg g_s l_s^2 $ および $ l_R^3 \gg g_s l_s^3 $ の条件が必要である。
• 非可換幾何学は非可換トーラスを介して導入され、これは行列理論およびD-brane物理学においてT双対性の記述として自然に現れる。
• 双対性の議論を用いて、斜交トーラス上のD1-braneが2+1次元非可換ゲージ理論に対応し、大N極限でM理論を記述することを示す。
• リエッフェルとシュワーツの研究を応用し、非可換トーラスが $ SO(d,d;\mathbb{Z}) $ 対称性を有することを示し、ストリング理論の双対性群と一致することを確認する。
• ADHM構成法を非可換行列を用いて変形することで、非可換 $ \mathbb{R}^4 $ 上のインスタントンを記述し、U(1)理論ですら滑らかなモジュライ空間が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった背景およびフラックスを伴うストリング背景において、D0-braneが見ることになる計量は何か？また、その計量が適切に定義される条件は何か？
• RQ2 非可換幾何学が、従来の幾何学が崩壊する領域においても、ストリング理論においてリーマン幾何学の整合的な一般化を提供できるか？
• RQ3 非可換トーラスがT双対性とM理論のコンパクト化を統一する役割を果たすか？
• RQ4 非可換ゲージ理論は、曲がった空間や特異的空間上のD-braneの世界面ダイナミクスを記述できるか？
• RQ5 変形量子化は、ストリング理論の振幅およびシグマ模型のRGフローとどのように関係するか？

主な発見

• 曲率半径 $ l_R $ が $ l_R^2 \gg g_s l_s^2 $ を満たすとき、D0-braneは明確に定義された計量 $ g^{D}_{ij} $ を見ることになる。これは波束局在化を保証する。
• 斜交トーラスにコンパクト化されたD1-brane上の非可換ゲージ理論は、T双対性から自然に生じ、行列理論の大N極限を記述する。
• 非可換トーラスは $ SO(d,d;\mathbb{Z}) $ 対称性を示し、ストリング理論の双対性群と一致する。これにより、物理的妥当性が裏付けられる。
• 非可換 $ \mathbb{R}^4 $ 上のインスタントンモジュライ空間は、U(1)理論ですら滑らかである。これは可換の場合の特異性とは対照的である。
• ADHM構成法を非可換行列を用いて変形することで、特異性がなだらかになる非可換インスタントンのバージョンが得られる。
• 非可換幾何学は、曲がったあるいは特異的背景上のD-braneの非局所的世界面ダイナミクスを記述する自然な言語を提供し、ファイブレーション代数やクロス積構成を一般化する。