[論文レビュー] Two new kinds of numbers and related divisibility results

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、中央二項係数と逆数の奇数を含む二項和を用いて定義される二つの新しい整数列 $ R_n $ と $ S_n $ を導入する。Zeilbergerのアルゴリズムを用いて、両者に対して3階線形漸化式を導出し、特に $ p \equiv \pm1 \pmod{4} $ である素数 $ p $ に対して、$ R_n $ とリーマン記号および $ p^2 $ を法とする中央二項係数の平方和を結ぶ新しい $ p $-進合同式を確立する。

ABSTRACT

We mainly introduce two new kinds of numbers given by $$R_n=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom{n+k}k\frac1{2k-1}\quad\ (n=0,1,2,...)$$ and $$S_n=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k(2k+1)\quad\ (n=0,1,2,...).$$ We find that such numbers have many interesting arithmetic properties. For example, if $p\equiv1\pmod 4$ is a prime with $p=x^2+y^2$ (where $x\equiv1\pmod 4$ and $y\equiv0\pmod 2$), then $$R_{(p-1)/2}\equiv p-(-1)^{(p-1)/4}2x\pmod{p^2}.$$ Also, $$\frac1{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}S_k\in\mathbb Z\ \ {and}\ \ \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}S_k(x)\in\mathbb Z[x]\quad ext{for all}\ n=1,2,3,...,$$ where $S_k(x)=\sum_{j=0}^k\binom kj^2\binom{2j}j(2j+1)x^j$. For any positive integers $a$ and $n$, we show that, somewhat surprisingly, $$\frac1{n^2}\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)\binom{n-1}k^a\binom{-n-1}k^a\in\mathbb Z\ \ {and} \ \ \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\binom{n-1}k^a\binom{-n-1}k^a}{4k^2-1}\in\mathbb Z.$$ We also solve a conjecture of V.J.W. Guo and J. Zeng, and pose several conjectures for further research.

研究の動機と目的

• カタラン数やシュレーダー数を超える組合せ的整数論の拡張として、二つの新しい整数列 $ R_n $ と $ S_n $ を定義し、それらを研究すること。
• Zeilbergerのアルゴリズムを用いて、$ R_n $ および $ S_n $ とその関連多項式 $ R_n(x) $, $ S_n(x) $ の線形漸化式を導出すること。
• 特に $ p \equiv 1,3 \pmod{4} $ である素数に対して、$ R_n $ と中央二項係数およびリーマン記号を結ぶ深い $ p $-進合同式を確立すること。
• 多項式 $ R_n(x) $, $ S_n(x) $ の既約性と、$ R_k^2 $, $ S_k $ および関連列の和の整除性に関する予想を述べること。

提案手法

• 定義：$ R_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\frac{1}{2k-1} $ は、逆数の奇数分母をもつシュレーダー数の変種である。
• 定義：$ S_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2\binom{2k}{k}(2k+1) $ は、二次の二項係数重みと線形項をもつ新しい列である。
• Mathematica 9 を用いてZeilbergerのアルゴリズムを適用し、$ R_n $, $ S_n $ およびその多項式一般化 $ R_n(x) $, $ S_n(x) $ の3階線形漸化式を導出する。
• $ R_{(p-1)/2} $ および関連和の $ p^2 $ を法とする $ p $-進合同式を確立し、二項係数の $ p^2 $ を法とするガウスおよびチャウラ＝ドッカー＝エヴァンズの結果と関連付ける。
• $ R_n(x) $ および $ S_n(x) $ が $ \mathbb{Q} $ 上で既約であること、および $ R_k^2 $, $ S_k $, $ s_k $ のある重み付き和が $ n $, $ n^2 $, または $ n^3 $ で割り切れるという予想を述べる。
• $ q $-アナログ版の和および合同式を提示し、$ [n]_q $ を法として検証し、$ \mathbb{Z}[q] $ における $ [n]_q^2 $ による完全な整除性を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しい列 $ R_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{n+k}{k}\frac{1}{2k-1} $ の組合せ的および算術的性質は何か。また、シュレーダー数やカタラン数とはどのように関係しているか。
• RQ2 $ p \equiv 1 \pmod{4} $ である素数 $ p $ に対して、$ R_n $ の値は $ p^2 $ を法としてどのように振る舞い、ガウスおよびチャウラ＝ドッカー＝エヴァンズの合同式とどのような関係があるか。
• RQ3 $ R_n $ および $ S_n $ を支配する漸化式は何か。また、それらの多項式一般化 $ R_n(x) $, $ S_n(x) $ は代数的および算術的制約下でどのように振る舞うか。
• RQ4 $ \sum_{k=0}^{n-1} R_k^2 $, $ \sum_{k=0}^{n-1} S_k $ および関連列の和は $ n $, $ n^2 $, または $ n^3 $ で割り切れるか。また、それらの $ q $-アナログは何か。
• RQ5 $ R_n $ の $ p $-進合同式は $ q $-アナログに拡張可能か。また、$ \mathbb{Z}[q] $ において $ [n]_q^2 $ で割り切れるという性質を満たすか。

主な発見

• 列 $ R_n $ は、すべての $ n \in \mathbb{N} $ に対して、3階漸化式 $ (n+1)R_n - (7n+15)R_{n+1} + (7n+13)R_{n+2} - (n+3)R_{n+3} = 0 $ を満たす。
• $ p \equiv 1 \pmod{4} $ である素数に対して、$ R_{(p-1)/2} \equiv -2\left(\frac{2}{p}\right)x \pmod{p^2} $ が成り立ち、ここで $ p = x^2 + y^2 $ かつ $ x \equiv 1 \pmod{4} $ である。このことは $ R_n $ が2つの平方数の和と関連していることを示している。
• $ \sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^2}{(2k-1)(-16)^k} \equiv -2\left(\frac{2}{p}\right)x \pmod{p^2} $ が成り立ち、$ x = -2 $ および $ x = -1/2 $ に対しても同様の合同式が成り立ち、$ R_n(x) $ の値がこれらの和と一致する。
• $ p \equiv 3 \pmod{4} $ である場合、$ R_{(p-1)/2} \equiv -\frac{1}{2}\left(\frac{2}{p}\right)\binom{(p+1)/2}{(p+1)/4} \pmod{p} $ が成り立ち、このような素数に対しては異なる挙動を示す。
• $ \sum_{k=0}^{n-1} R_k \equiv -p - \left(\frac{-1}{p}\right) \pmod{p^2} $ が成り立ち、$ R_k $ の部分和が $ p^2 $ を法として合同であることを示している。
• $ R_n(-1) = -(2n+1) $ であり、恒等式 $ \sum_{k=0}^{n} \frac{\binom{n}{k}\binom{-n}{k}}{2k-1} = -2n $ は、新しいかつ簡潔な組合せ的恒等式である。