[論文レビュー] Two Person Zero-sum Game in Weak Formulation and Path Dependent Bellman-Isaacs Equation

Triet Pham, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、制御を対称的に扱う弱形式を用いて、2人零和確率的微分ゲームにおけるゲーム価値の存在を確立する。戦略に基づくアプローチの非対称性を回避し、経路に依存するベルマン＝イサアズ方程式の粘性解として唯一の価値過程を特徴づける。これは、自然な条件下で非マルコフ的かつ拡散制御付きの設定に古典的結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we study a two person zero sum stochastic differential game in weak formulation. Unlike standard literature which uses strategy type of controls, the weak formulation allows us to consider the game with control against control. We shall prove the existence of game value under natural conditions. Another main feature of the paper is that we allow for non-Markovian structure, and thus the game value is a random process. We characterize the value process as the unique viscosity solution of the corresponding path dependent Bellman-Isaacs equation, a notion recently introduced by Ekren, Keller, Touzi and Zhang (arXiv:1109.5971) and Ekren, Touzi and Zhang.

研究の動機と目的

• 標準的な強い定式化設定において、特にイサアズ条件が成立しない場合にゲーム価値が存在しない問題を解決すること。
• 制御が状態過程に直接作用する対称的な弱形式の枠組みを構築し、鞍点を自然に定義可能にする。
• 経路に依存する非マルコフ的確率的微分ゲーム（拡散制御付き）における動的計画法および粘性解理論を拡張すること。
• エクレーンらが導入した経路に依存するベルマン＝イサアズ方程式の唯一の粘性解として価値過程を特徴づけること。
• 標準的な条件下ですら強い定式化においてゲーム価値が存在しない可能性があることを示す反例を提示し、弱形式の必要性を動機づけること。

提案手法

• 制御された状態過程を、全経路にわたるフィードバック制御によって定式化する弱形式で定式化する：$ X^{W,u,v}_t = x + \int_0^t b(s, u_s(X^{W,u,v}_\cdot), v_s(X^{W,u,v}_\cdot)) ds + \int_0^t \sigma(s, u_s(X^{W,u,v}_\cdot), v_s(X^{W,u,v}_\cdot)) dB_s $。
• 強い定式化よりも戦略に基づく手法よりも検証に適した、弱形式における動的計画法（DPP）を用いる。
• エクレーン、ケラー、トゥジ、チャンが導入した経路に依存するPDEの粘性解の概念を活用し、価値過程を経路に依存するベルマン＝イサアズ方程式の唯一の粘性解として特徴づける。
• DPPと比較原理を用いて、自然な条件（係数の有界性、連続性、非退化性など）のもとでゲーム価値の存在を確立する。
• 反例（例8.1）を提示し、$ \underline{Y}_0 < \overline{Y}_0 $ がイサアズ条件を満たしても強い定式化において成立することを示し、標準的手法の限界を強調する。
• 拡散制御のケースを、BSDEおよび条件付き期待値を用いて取り扱い、必要に応じて $ f=0 $ および条件付き期待値に基づく価値過程を許容するように枠組みを適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散制御付き2人零和確率的微分ゲームにおいて、ゲーム価値が存在する条件は何か？
• RQ2 戦略型制御に依存せずに、制御同士の対称的定式化を用いてゲーム価値および鞍点を定義可能か？
• RQ3 経路に依存する非マルコフ的ゲームにおける弱形式設定において、動的計画法をどのように確立し適用できるか？
• RQ4 経路に依存するベルマン＝イサアズ方程式は価値過程の特徴づけにおいて果たす役割は何か？また、その唯一の粘性解をもつのか？
• RQ5 標準的な強い定式化では、イサアズ条件が成立してもゲーム価値の存在が保証されないのはなぜか？

主な発見

• 自然な条件下で、弱形式においてゲーム価値が存在するが、標準的な強い定式化では存在しないことがある。
• 価値過程は、エクレーンらが導入した経路に依存するベルマン＝イサアズ方程式の唯一の粘性解として特徴づけられ、古典的PDEに基づく特徴づけを非マルコフ的設定に拡張する。
• 反例（例8.1）により、$ 0 \leq \alpha < \sqrt{T/2} $ かつ $ |a| \leq T $ のとき、強い定式化において $ \underline{Y}_0 < \overline{Y}_0 $ が成立することが示され、標準的仮定のもとでもゲーム価値が存在しないことが明らかになる。
• 弱形式により制御の対称的取り扱いが可能となり、特にドリフト制御ケースにおいて鞍点を自然に定義可能になる。
• ドリフト制御ケースでは、弱い条件下で鞍点の存在が証明され、拡散制御ケースでは近似鞍点が得られる。
• 決定的ケース（例：$ \alpha = 0 $）でも枠組みは有効であり、拡散がない場合でも弱形式により明確に定義されたゲーム価値が得られる。