[論文レビュー] Two-player entangled games are NP-hard

Anand Natarajan, Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、対数的質問長と定数的答え長を持つ二プレーヤー量子もつれゲームの最大成功確率を定数要因内で近似することは、NP困難であることを証明する。Raz-Safraの低次のテストを二つのもつれたプローバーに対して改善した分析を用いて、NEXP ⊆ MIP* が二つのプローバーでも成り立つことが示され、重要な計算複雑性理論的問題が解決された。

ABSTRACT

We show that the maximum success probability of players sharing quantum entanglement in a two-player game with classical questions of logarithmic length and classical answers of constant length is NP-hard to approximate to within constant factors. As a corollary, the inclusion $\mathrm{NEXP}\subseteq\mathrm{MIP}^*$, first shown in [IV12] with three provers, holds with two provers only. The proof is based on a simpler, improved analysis of the low-degree test Raz and Safra (STOC'97) against two entangled provers.

研究の動機と目的

• 限られた古典的通信を伴う二プレーヤー非局所ゲームにおける量子優位性の近似の計算的困難性を確立すること。
• 特に MIP* 複雑度クラスに関連して、二つのもつれたプローバーの能力に関する理解のギャップを埋めること。
• 特に二つのもつれたプローバーに対して、量子もつれの文脈における低次のテストの先行分析を改善すること。
• NEXP ⊆ MIP* が三つのプローバーではなく、二つのプローバーでも成り立つことを示すこと。

提案手法

• 二プレーヤーもつれ設定に適応し、再分析したRaz-Safraの低次のテストを用い、量子戦略に対する妥当性を重視する。
• 従来の手法よりもタイトに、もつれたプローバーの低次のテストにおける成功確率を制限する、洗練された分析技術を導入する。
• 量子もつれと非局所相関の性質を活用して、量子プローバーによる古典的証明システムのシミュレーションを行う。
• 改善された妥当性バウンドを用いて、任意の NEXP に属する言語が、完全性1かつ妥当性が1から離れた二プローバー量子インタラクティブ証明システムを持つことを示す。
• 量子ゲームの成功確率の近似問題を、既知のNP困難問題に還元し、近似の困難性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対数的質問長と定数的答え長を持つ二プレーヤーもつれゲームの最大成功確率の近似は、任意の定数要因内でNP困難か？
• RQ2 三つのプローバーが必要であった前例を踏まえ、NEXP ⊆ MIP* が二つのもつれたプローバーでも成り立つか？
• RQ3 二つのプローバーにおける量子もつれの存在下でも、Raz-Safraの低次のテストを妥当に分析できるか？
• RQ4 二プローバー版の低次のテストにおいて、もつれたプローバーの成功確率の最もタイトな境界は何か？

主な発見

• 対数的質問長と定数的答え長を持つ二プレーヤーもつれゲームの最大成功確率は、任意の定数要因内で近似することがNP困難である。
• 二つのもつれたプローバーに対するRaz-Safraの低次のテストの改善分析により、妥当性バウンドが得られ、二プローバーでの NEXP ⊆ MIP* の証明が可能になった。
• この結果により、二つのもつれたプローバーが MIP* の完全な力を達成するのに十分であることが確認され、量子複雑度理論における重要な未解決問題が解決された。
• 従来の手法に比べ、より強力で単純な分析手法が得られ、複雑なマルチプローバー構成への依存が軽減された。