[論文レビュー] Two point Gauss-Legendre Quadrature Rule for Riemann-Stieltjes integrals

Mohammad W. Alomari|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、重み付き和 ∫₋₁¹ f(t) dg(t) ≈ A f(−√3/3) + B f(√3/3) を用いたリーマン-スタイリジス積分 ∫₋₁¹ f(t) dg(t) の近似のための2点ガウス＝レジェンドル則を導入する。重み A と B の明示的公式を g(−1)、g(1)、および ∫₋₁¹ g(t) dt を用いて導出し、リプシッツ連続性や L₂ 衍導関数といった多様な滑らかさ仮定の下で鋭い誤差評価を確立する。

ABSTRACT

In order to approximate the Riemann--Stieltjes integral $\int_a^b {f\left( t ight)dg\left( t ight)}$ by $2$--point Gaussian quadrature rule, we introduce the quadrature rule \begin{align*} \int_{ - 1}^1 {f\left( t ight)dg\left( t ight)} \approx A f\left( { - \frac{\sqrt 3 }{3}} ight) + B f\left( {\frac{\sqrt 3 }{3}} ight), \end{align*} for suitable choice of $A$ and $B$. Error estimates for this approximation under various assumptions for the functions involved are provided as well.

研究の動機と目的

• 標準リーマン積分よりも研究が少ないリーマン-スタイリジス積分に特化した2点ガウス＝レジェンドル則の開発を目的とする。
• 被積分関数 g(t) が恒等関数でない一般のリーマン-スタイリジス設定に、古典的ガウス則の技法を拡張することを目的とする。
• 被積分関数 g の端点における値 g(−1)、g(1) および [−1,1] 上での積分 ∫₋₁¹ g(t) dt を用いて、四則の重み A と B の明示的表現を導出することを目的とする。
• f と g に関する多様な正則性仮定（リプシッツ連続性、L₂ 衍導関数など）の下で、四則の誤差推定を鋭く与えること。
• 特にペアノ核および共分散型評価を用いた現代的な不等式に基づく誤差解析を活用し、リーマン-スタイリジス積分の数値的取り扱いにおけるギャップを埋めることを目的とする。

提案手法

• f(t) = 1 および f(t) = t を代入することで、近似 ∫₋₁¹ f(t) dg(t) ≈ A f(−√3/3) + B f(√3/3) が一次多項式に対して正確に成立するようにするため、多項式の次数 ≤1 に対して正確性を要求し、方程式系を導出する。
• 重み A と B の明示的公式は、A = (3/(2√3)) [∫₋₁¹ g(t) dt − ((3−√3)/3)g(1) − ((√3+3)/3)g(−1)] および B = (3/(2√3)) [((3+√3)/3)g(1) + ((3−√3)/3)g(−1) − ∫₋₁¹ g(t) dt] として得られる。
• 誤差解析はペアノ核表現および共分散型不等式を用い、特に関数 T(h,h) = (1/2)‖h‖₂² − (1/4)(∫₋₁¹ h(t) dt)² を活用する。
• 誤差関数へのコーシー＝シュワルツ不等式の適用により、σ(f) と σ(g′) を用いた誤差評価が得られ、σ(h) = 2T(h,h) と定義される。
• リプシッツ連続性、L₂ 衍導関数、有界 Variation といった複数の滑らかさ仮定の下で検証され、それぞれ異なる誤差推定が得られる。
• 理論的結果は、g(t) = t（標準ガウス＝レジェンドルに還元）や単調な被積分関数の特別な場合に拡張され、絶対値およびホルダー型不等式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準リーマン積分から一般化されたリーマン-スタイリジス積分への2点ガウス＝レジェンドル則の一般化は、任意の被積分関数 g(t) に対してどのように達成できるか？
• RQ2 リーマン-スタイリジス設定において、g(−1)、g(1)、および ∫₋₁¹ g(t) dt を用いた四則の重み A と B の明示的公式は何か？
• RQ3 f と g がリプシッツ連続性を満たす、または L₂(−1,1) に属する導関数を持つ場合、四則の誤差評価はどのように得られるか？
• RQ4 被積分関数 f と被積分関数 g の滑らかさおよび変動性に応じて、誤差推定はどのように変化するか？
• RQ5 ホルダーの不等式や絶対値による評価を用いて、単調または有界変動の被積分関数に対しても誤差解析を拡張できるか？

主な発見

• ∫₋₁¹ f(t) dg(t) ≈ A f(−√3/3) + B f(√3/3) の四則は、f(t) = 1 および f(t) = t に対して正確に成立し、精度の度数が 1 に達することを保証する。
• 重み A と B は g(−1)、g(1)、および [−1,1] 上での g の積分の明示的関数として与えられ、任意の被積分関数 g に対して計算可能であることを保証する。
• f と g がともに絶対連続で、f′, g′ ∈ L₂(−1,1) である場合、誤差は σ¹ᐟ²(f) · σ¹ᐟ²(g′) で有界であり、σ(h) = 2T(h,h) および T(h,h) = (1/2)‖h‖₂² − (1/4)(∫₋₁¹ h(t) dt)² と定義される。
• リプシッツ連続性（定数 L_f および L_g）の下では、誤差は (4/3)L_f L_g で有界であり、この評価は鋭い。
• g(t) = t の場合、四則は標準2点ガウス＝レジェンドル則に還元され、誤差評価は |∫₋₁¹ f(t) dt − f(−√3/3) − f(√3/3)| ≤ (H_f / (r+1)) [((3−√3)/3)^(r+1) + ((3+√3)/3)^(r+1)] となる。ここで H_f は Hölder 定数である。
• 定理4における誤差評価は鋭く、定数を小さくすることは不可能であり、この証明は誤差のペアノ核表現にコーシー＝シュワルツ不等式を適用することに依拠する。