[論文レビュー] Two polarized K3 surfaces associated to the same cubic fourfold

Emma Brakkee|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、d ≡ 0 mod 6 を満たす一般の極化的 K3 表面 (S,L) に対して、Hassett の対合 τ による関連する K3 表面 S^τ が、Mukai ベクトル (3,L,d/6) を持つ S 上の安定層のモジュライ空間に同型であることを確立する。さらに、d/6 が 3p² − (d/6)q² = −1 を満たす整数解を持つとき、S と S^τ の2点ヒルベルトスキーム Hilb²(S) と Hilb²(S^τ) が双有理的であることが示され、特定の d に対しては、双有理的でないが導来同倣であるヒルベルトスキームの例が得られる。

ABSTRACT

For infinitely many $d$, Hassett showed that special cubic fourfolds of discriminant $d$ are related to polarized K3 surfaces of degree $d$ via their Hodge structures. For half of the $d$, each associated K3 surface $(S,L)$ canonically yields another one, $(S^τ,L^τ)$. We prove that $S^τ$ is isomorphic to the moduli space of stable coherent sheaves on $S$ with Mukai vector $(3,L,d/6)$. We also explain for which $d$ the Hilbert schemes $ ext{Hilb}^n(S)$ and $ ext{Hilb}^n(S^τ)$ are birational.

研究の動機と目的

• d ≡ 0 mod 6 の極的 K3 表面のモジュライ空間における対合 τ の幾何的性質を記述すること。
• K3 表面とその τ 対応相手の2点ヒルベルトスキームがいつ双有理的かを特定すること。
• K3 表面の2点ヒルベルトスキームが導来同倣であるが双有理的ではない例を構成すること。
• Fourier–Mukai 対応相手 S^τ と、Mukai ベクトル (3,L,d/6) を持つ S 上の層のモジュライ空間との関係を明確にすること。

提案手法

• 立方体4次曲面と K3 表面の間の Mukai ラティスおよびホッジ的対応を用いて、モジュライ空間 M_d 上での対合 τ を定義する。
• 判別群や直交拡張を含む格子論的技法を用いて、τ の作用を分析する。
• S^τ が Mukai ベクトル (3,L,d/6) を持つ S 上の安定層のモジュライ空間 M_S(3,L,d/6) に同型であることを確立する。
• Hilb²(S) と Hilb²(S^τ) の双有理的性を、ディオファントス方程式 3p² − (d/6)q² = −1 の可解性に還元する。
• 関連する立方体4次曲面の Kuznetsov 種別を介した S と S^τ の導来同倣を用いて、幾何的構成を支援する。
• Hilb²(S) 上のネロン–セバール群とラインバンドル構造を分析し、双有理的性の基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d ≡ 0 mod 6 のとき、極的 K3 表面のモジュライ空間における対合 τ の幾何的性質は何か？
• RQ2 K3 表面とその τ 対応相手の2点ヒルベルトスキームがいつ双有理的か？
• RQ3 K3 表面の2点ヒルベルトスキームが導来同倣であるが双有理的ではないことはあり得るか？ もしあるとすれば、どのような条件下か？
• RQ4 Mukai ベクトル (3,L,d/6) を持つ安定層のモジュライ空間は、τ 対応相手 K3 表面 S^τ とどのように関係するか？
• RQ5 3p² − (d/6)q² = −1 の可解性が、2点ヒルベルトスキームの双有理的幾何に果たす役割は何か？

主な発見

• 対合 τ は極的 K3 表面 (S,L) を、Mukai ベクトル (3,L,d/6) を持つ S 上の安定層のモジュライ空間 M_S(3,L,d/6) に同型な表面 S^τ に写す。
• ρ(S) = 1 の一般の (S,L) に対して、Hilb²(S) と Hilb²(S^τ) が双有理的であるための必要十分条件は、ディオファントス方程式 3p² − (d/6)q² = −1 が整数解を持つことである。
• 3p² − (d/6)q² = −1 が可解であるような d は無限に多く存在するが、すべての d がこの条件を満たすわけではない。
• d = 6·73 のとき、方程式は可解でないため、Hilb²(S) と Hilb²(S^τ) は双有理的ではないが、導来同倣である。
• 本稿は、K3 表面の2点ヒルベルトスキームについて、導来同倣であるが双有理的でない例として、初めて知られる例を構成する。
• n ≥ 3 の場合、Hilb^n(S) と Hilb^n(S^τ) の双有理的性は、3p²(n−1) − (d/6)q² = −1 または 3p² − (d/6)q²(n−1) = −1 の可解性に依存し、可解性条件は d/6 を 4 または 8 を法として評価した結果に依存する。