[論文レビュー] Two-scale method for the Monge-Ampère Equation: Pointwise Error Estimates

Ricardo H. Nochetto, Dimitrios Ntogkas+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元 $d \geq 2$ の場合におけるMonge-Ampère方程式に二重スケール有限要素法を適用した場合の点ごとの誤差推定を確立する。離散アレクサンドロフ推定を通じて離散解のデータに対する連続的依存性を証明することで、H"older やソボレフ正則性を持つ古典解に対して $L^\infty$ 収束率 $h^{2/\beta}$ を得た。また、有界で、可能性として退化するヘッセ行列をもつ粘性解に対しては、劣化した収束率が得られる。

ABSTRACT

In this paper we continue the analysis of the two-scale method for the Monge-Ampère equation for dimension $d \geq 2$ introduced in [10]. We prove continuous dependence of discrete solutions on data that in turn hinges on a discrete version of the Alexandroff estimate. They are both instrumental to prove pointwise error estimates for classical solutions with Hölder and Sobolev regularity. We also derive convergence rates for viscosity solutions with bounded Hessians which may be piecewise smooth or degenerate.

研究の動機と目的

• 次元 $d \geq 2$ のMonge-Ampere方程式に二重スケール有限要素法を適用した場合の点ごとの $L^\infty$ 誤差推定を確立すること。
• 誤差境界を導出するための主要な要素である、離散解のデータに対する連続的依存性を証明すること。
• H"older やソボレフ正則性を持つ古典解、および有界で、可能性として不連続なヘッセ行列をもつ粘性解に対して、収束解析を拡張すること。
• 非退化性仮定 $f > 0$ を除いて、$f \geq 0$ の退化ケースにおける収束率を分析すること。
• 先行研究における数値実験で観察された線形収束率と理論的誤差境界の不一致を解消するために、$\delta/h \gg 1$ 要因が非最適性の原因であると特定すること。

提案手法

• 本手法は、方向の正規直交基底を用いたヘッセ行列式の最小最大表現に基づく二重スケール定式化を採用する。
• 離散解は、サイズ $h$ の非構造的準均一メッシュ上での連続的分片線形有限要素空間上に定義される。
• 粗いスケール $\delta$ が、点 $x$ における2階方向差分 $\nabla^2_\delta u(x;v)$ のステンシルを制御し、ヘッセ行列の近似を実現する。
• 離散Monge-Ampere作用素 $T_\varepsilon[u_\varepsilon](x_i)$ は、離散的集合 $\mathbb{S}^\perp_\theta$ 内の正規直交基底の最小値として定義され、2階差分の正負の部分が用いられる。
• 離散アレクサンドロフ推定を用いて、離散解のデータに対する連続的依存性を確立し、誤差伝搬解析を可能にする。
• バリア関数と離散的凸性を用いて、補間誤差と一貫性誤差を分析し、$\delta/h$ スケーリング要因を注意深く制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H"older やソボレフ正則性を持つMonge-Ampere方程式の古典解に対して、二重スケール有限要素法の収束率は何か？
• RQ2 有界だが、可能性として不連続なヘッセ行列をもつ粘性解に対して、この手法はどのように動作するか？
• RQ3 非退化性仮定 $f > 0$ を仮定しない場合、$f \geq 0$ の退化ケースで最適収束率を達成できるか？
• RQ4 先行研究における数値実験で観察された線形収束率と理論的誤差推定の不一致は、どのように説明できるか？
• RQ5 $\delta/h$ 確率が収束率を制限する役割を果たすのか、そしてその影響を軽減できるか？

主な発見

• H"older 正則性を持つ古典解に対しては、$L^\infty$ 収束率が $h^{2/\beta}$ のオーダーとなる。ここで $\beta > 2$ は正則性指数に依存する。
• ソボレフ正則性を持つ古典解に対しても、弱い正則性仮定の下で、同じ収束率 $h^{2/\beta}$ が得られる。
• 分片ソボレフ正則性と不連続ヘッセ行列をもつ粘性解に対しても、収束率は低下するが、依然として定量的に評価可能である。
• 退化ケース $f \geq 0$ においては、正則化手順により収束率 $h^{\frac{1}{d}(1 - 2/\beta)}$ が得られるが、これは最適でないが、文献上初のこのような推定である。
• 理論的非最適性は、離散アレクサンドロフアプローチに内在する $\delta/h \gg 1$ 要因に起因しており、連続的依存性推定に現れる。
• 適切な離散化のもとで、二重スケール法がフェングとジェンセンの半ラグランジュ法と同等であることが示され、その誤差推定も同様に拡張可能である。