[論文レビュー] Two species nonlocal diffusion systems with free boundaries

Yihong Du, Mingxin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 17被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、長距離散乱による種の拡散をモデル化する自由境界を有する2種非局所拡散系を研究する。解の全域的存在と一意性を確立し、拡散・消滅二分法を証明し、拡散と消滅の明確な基準を導出する。弱い競争および弱い捕食の状況では、種の長期的漸近的挙動を特定し、モデルパラメータによって決定される特定の平衡状態への収束を示す。

ABSTRACT

We study a class of free boundary systems with nonlocal diffusion, which are natural extensions of the corresponding free boundary problems of reaction diffusion systems. As before the free boundary represents the spreading front of the species, but here the population dispersal is described by "nonlocal diffusion" instead of "local diffusion". We prove that such a nonlocal diffusion problem with free boundary has a unique global solution, and for models with Lotka-Volterra type competition or predator-prey growth terms, we show that a spreading-vanishing dichotomy holds, and obtain criteria for spreading and vanishing; moreover, for the weak competition case and for the weak predation case, we can determine the long-time asymptotic limit of the solution when spreading happens. Compared with the single species free boundary model with nonlocal diffusion considered recently in \cite{CDLL}, and the two species cases with local diffusion extensively studied in the literature, the situation considered in this paper involves several extra difficulties, which are overcome by the use of some new techniques.

研究の動機と目的

• 単一種の非局所拡散モデルに自由境界を導入したものを、共有される拡散フロントを有する2種系へと拡張すること。
• 非局所分散下での2種の相互作用の長期的挙動を分析すること、特に競争的および捕食者・被捕食者シナリオにおいて。
• 非局所拡散を伴う自由境界問題に対して、解の存在、一意性、および全域的適切性を確立すること。
• 種の拡散と消滅を分ける十分条件を導出し、拡散が発生する際の漸近的プロファイルを特徴づけること。
• 反復的境界法と安定性解析を用いて、弱い競争および弱い捕食の状態における種の密度の長期的極限を特定すること。

提案手法

• モデルは、局所拡散を置き換えるために、$ d_i \int J_i(x-y)u_i(t,y)dy - d_i u_i $ の形の非局所拡散作用素を用いる。
• 自由境界 $ g(t) $ および $ h(t) $ は、各種の外向きフラックスに従って進化し、$ \mu_i \int_{g(t)}^{h(t)} \int_{h(t)}^\infty J_i(x-y)u_i(t,x) dy dx $ の割合に比例する。
• モデルパラメータに基づく再帰的数列を用いて、時間経過に伴う種の密度の上界および下界を制御する、新しい反復的境界技術が開発された。
• 比較原理および事前推定に依拠して、拡散・消滅二分法および長期収束を確立する。
• 弱い競争および弱い捕食の状況では、収束する上界および下界の入れ子構造の数列が構築され、平衡値へ収束する。
• 理論的道具には、成長関数の局所リプシッツ連続性、カーネルの正則性（J）、および進化方程式における非局所積分項の注意深い取り扱いが含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由境界を有する2種非局所拡散系が、どのような条件下で拡散・消滅二分法を示すか？
• RQ2 非局所分散が存在する中で、2種の拡散と消滅を分ける基準は何か？
• RQ3 弱い競争状況下で、2種の長期的漸近的プロファイルはどのように振る舞い、その限界種の密度は何か？
• RQ4 弱い捕食状況下で、システムの長期的挙動は何か？また、種は安定な共存状態へ収束するか？
• RQ5 非局所分散カーネルおよび共有される自由境界は、局所拡散モデルと比較してダイナミクスにどのように影響を与えるか？

主な発見

• エネルギー推定および比較技術を用いて、すべての時間において解が一意に全域的に存在することが示された。
• 拡散・消滅二分法が成立する：両方の種が無限に拡散するか、あるいは両方が消滅するが、中間状態は存在しない。
• 弱い競争状況では、$ u_1 $ および $ u_2 $ の長期的極限は、それぞれ $ \frac{a_1b_2 - a_2c_1}{b_1b_2 - c_1c_2} $ および $ \frac{a_2b_1 - a_1c_2}{b_1b_2 - c_1c_2} $ に、$ \mathbb{R} $ 上で局所的に一様に収束する。
• 弱い捕食状況では、$ u_1 $ および $ u_2 $ の長期的極限は、それぞれ $ \frac{a_1b_2 - a_2c_1}{b_1b_2 + c_1c_2} $ および $ \frac{a_1c_2 + a_2b_1}{b_1b_2 + c_1c_2} $ に、$ \mathbb{R} $ 上で局所的に一様に収束する。
• 収束は、平衡値へ単調に収束する反復的境界列によって確立された。
• 結果は、単一種の非局所自由境界モデルを一般化し、共有される拡散フロントを伴う非局所分散への古典的2種局所拡散系の拡張を達成した。