[論文レビュー] Type II$_1$ von Neumann algebra representations of Hecke operators on Maass forms and the Ramanujan-Petersson conjectures

Florin Rădulescu|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、PSL(2,ℤ)の基本領域のBerezin量子化を介して、古典的ヘッケ作用素をタイプII₁フォンノイマン代数上の完全正値写像として初めて構成する。行列正定値性とPGL(2,ℚ)上の状態のシュール型正の平方根を用いることで、各ヘッケ作用素$T_p$の本質的スペクトルが$[-2\sqrt{p}, 2\sqrt{p}]$に含まれることを証明し、この枠組みにおいてランマヌジャン＝ピーターソン予想を裏付ける。

ABSTRACT

Classical Hecke operators on Maass forms are unitarely equivalent, up to a commuting phase, to completely positive maps on II$_1$ factors, associated to a pair of isomorphic subfactors, and an intertwining unitary. This representation is obtained through a quantized representation of the Hecke operators. in this representation, the Hecke operators act on the Berezin's quantization, deformation algebra of the fundamental domain of $\PSL(2,\Z)$ in the upper halfplane. The Hecke operators are inheriting from the ambient, non-commutative algebra on which they act, a rich structure of matrix inequalities. Using this construction we obtain that, for every prime $p$, the essential spectrum of the classical Hecke operator $T_p$ is contained in the interval $[-2\sqrt p, 2\sqrt p]$, predicted by the Ramanujan Petersson conjectures. In particular, given an open interval containing $[-2\sqrt p, 2\sqrt p]$, there are at most a finite number of possible exceptional eigenvalues lying outside this interval. The main tool for obtaining this representation of the Hecke operators (unitarely equivalent to the classical representation, up to commuting phase) is a Schurr type, positive "square root" of the state on $\PGL(2,\Q)$, measuring the displacement of fundamental domain by translations in $\PGL(2,\Q)$. The "square root" is obtained from the matrix coefficients of the discrete series representations of $\PSL(2,\R)$ restricted to $\PGL(2, \Q)$. The methods in this paper may also be applied to any finite index, modular subgroup $Γ_0(p^n)$, $n\geq 1$, of $\PSL(2,\Z)$. In this case the essential norm of the Hecke operator is equal to the norm of the corresponding convolution operator on the cosets Hilbert space $\ell^2((Γ_0(p^n))\backslash \PSL(2,\Z[1/p])$.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学とフォンノイマン代数を用いて、マース形式上のヘッケ作用素の新しい作用素代数的枠組みを確立すること。
• 古典的ヘッケ作用素$T_p$の本質的スペクトルが、ランマヌジャン＝ピーターソン予想が予測する$[-2\sqrt{p}, 2\sqrt{p}]$に含まれることを証明すること。
• PSL(2,ℝ)の離散系列表現の行列係数を用いた、上半平面の量子化変形を通じてヘッケ作用素のユニタリ同倣表現を構成すること。
• 有限索引のモジュラー部分群$\Gamma_0(p^n)$へその手法を拡張し、ヘッケ作用素の本質的ノルムが$\ell^2((\Gamma_0(p^n))\backslash\mathrm{PGL}(2,\mathbb{Z}[1/p]))$上の対応する畳み込み作用素のノルムに一致することを示すこと。

提案手法

• 上半平面上のPSL(2,ℤ)の基本領域のBerezin量子化から生じるタイプII₁フォンノイマン代数上での完全正値写像としてヘッケ作用素を表現する。
• PSL(2,ℝ)の離散系列表現の行列係数をPGL(2,ℚ)に制限することで得られる、基本領域の平行移動を測る状態のシュール型正の平方根を構成する。
• 群$G = \mathrm{PGL}(2,\mathbb{Q})$上の$\ell^2(\Gamma)$上の射影的ユニタリ表現$\pi$を用いて、ヒルベルト空間$H_0 \otimes V$（$H_0 = \ell^2(\Gamma/G)$、$V = \ell^2(\Gamma)$）上での$^*$表現を定義する。
• 双側coset $[\Gamma\sigma\Gamma]$ が表現$\Pi$のもとでの像としてヘッケ作用素$T^{[\Gamma\sigma\Gamma]}$を定義し、$\langle \pi_0(\theta)1, 1 \rangle$および$\langle \theta \chi_{\theta,\sigma^{-1}}(v)\sigma^{-1}, v \rangle$を含む行列係数を用いる。
• coset空間のフォンノイマン代数$\mathcal{L}(G)$への埋め込みを用いて、古典的ヘッケ作用素と量子化表現との間のユニタリ同倣（可換位相を除く）を確立する。
• $C^\ast$-代数枠組みにおける行列正定値性の構造を応用し、特に$T_p$の本質的スペクトルにおけるスペクトル境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ヘッケ作用素は、PSL(2,ℤ)の基本領域の量子化を介して、タイプII₁フォンノイマン代数上の完全正値写像として表現可能か？
• RQ2 量子化変形の背後にある非可換代数の行列正定値構造は、ヘッケ作用素（特にその本質的スペクトル）に対するスペクトル制御を可能にするか？
• RQ3 ヘッケ作用素$T_p$の本質的スペクトルは、ランマヌジャン＝ピーターソン予想が予測する$[-2\sqrt{p}, 2\sqrt{p}]$に含まれるか？
• RQ4 この手法は有限索引のモジュラー部分群$\Gamma_0(p^n)$へ一般化可能か？また、$T_p$の本質的ノルムは、$\ell^2((\Gamma_0(p^n))\backslash\mathrm{PGL}(2,\mathbb{Z}[1/p]))$上の対応する畳み込み作用素のノルムに等しいか？
• RQ5 PGL(2,ℚ)上の移動状態のシュール型正の平方根は、古典的および量子化ヘッケ作用素のユニタリ同倣の構築において果たす役割は何か？

主な発見

• マース形式上の古典的ヘッケ作用素は、Berezin量子化による上半平面のフォンノイマン代数上の完全正値写像として、可換位相を除きユニタリ同倣である。
• 各ヘッケ作用素$T_p$の本質的スペクトルは、区間$[-2\sqrt{p}, 2\sqrt{p}]$に含まれる。これは、この作用素代数的枠組みにおいてランマヌジャン＝ピーターソン予想が正当化されることを示している。
• $[-2\sqrt{p}, 2\sqrt{p}]$を含む任意の開区間について、この区間の外に存在する$T_p$の例外固有値は高々有限個である。
• この構成は、PSL(2,ℝ)の離散系列表現の行列係数をPGL(2,ℚ)に制限することで得られる、PGL(2,ℚ)上の状態の正の平方根に依存している。
• この手法は$\Gamma_0(p^n)$へ拡張可能であり、ヘッケ作用素の本質的ノルムは、$\ell^2((\Gamma_0(p^n))\backslash\mathrm{PGL}(2,\mathbb{Z}[1/p]))$上の対応する畳み込み作用素のノルムに一致する。
• ヘッケ作用素の行列係数は、$\Gamma\sigma\Gamma$上の和として表現され、$\langle \pi_0(\theta)1, 1 \rangle \overline{\langle \pi_0(\theta)\gamma, \pi_0(\theta)\gamma \rangle}$の項を含む。非ゼロ寄与は、$\theta = \gamma\sigma\gamma^{-1} \in \Gamma \cap \sigma\Gamma\sigma^{-1}$のときのみ発生する。