[論文レビュー] Type II blow up manifolds for the energy supercritical wave equation

Charles Collot|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、高次元 (d ≥ 11) におけるエネルギー超臨界波動方程式に対して、明示的で滑らかでコンパクトに台を持つ解を構成し、それらが有限時間で爆発する。この爆発は、スローモーションのソリトン型プロファイルの集中によって生じ、爆発速度は量子化されたレートで発生する。臨界波動方程式および臨界熱流動解析に適応された洗練されたエネルギー法を用いて、そのようなタイプII爆発解のリプシッツ的多様体が存在することを証明した。この多様体の余次元は ℓ−1 であり、爆発に伴いすべての下臨界ノルムが有界のままであることを示している。

ABSTRACT

We consider the non linear focusing wave equation $\partial_{tt}u-Δu-u|u|^{p-1}=0$ in large dimensions and for radially symmetric data, in the energy supercritical zone for p large enough. We construct finite time blow up solutions that concentrate the soliton profile $u \sim \frac{1}{λ^{\frac{2}{p-1}}}Q (\frac{r} λ)$, $Q$ being a special stationary state of the equation. The blow up is of type II i.e all norms below scaling remain bounded. The scale shrinks at quantized blow up rates: we exhibit a countable family of asymptotic behaviors near blow up time for the scale lambda. For each rate we are able to prove that there exists a Lipschitz manifold with explicit codimension of initial data leading to such solutions. Our analysis adapts the robust energy method developed for the study of energy critical bubbles and the analogous result for the energy supercritical NLS problem. This work is also related to similar solutions for the non linear heat equation for which the existence was already known, but with some techniques that could not be adapted to the wave equation.

研究の動機と目的

• 高次元 (d ≥ 11) におけるエネルギー超臨界波動方程式に対して、有限時間で爆発する明示的で滑らかでコンパクトに台を持つ解を構成すること。
• ソリトン集中による爆発レート λ(t) ∼ (T−t)^{ℓ/α} で量子化される、余次元 ℓ−1 のリプシッツ的多様体が存在することを確立すること。
• 爆発がタイプIIであることを証明すること、すなわち t↑T の際にすべての下臨界ソボレフノルムが有界のままであること。
• エネルギー臨界問題に用いられる頑健なエネルギー法を、超臨界領域に拡張し、タイプII爆発解を構成するための新しい枠組みを提供すること。

提案手法

• エネルギー臨界波動および熱流動解析に用いられたメルル、ラファエル、ロドニアンスキーのエネルギー法を、エネルギー超臨界設定に適応すること。
• λ(t) ∼ c(T−t)^{ℓ/α} で与えられる量子化された爆発速度に従い、ソリトン型プロファイル Q(r/λ(t)) に集中する解を構築すること。
• 小さな誤差項 ε とゆっくり変化するスケールパラメータ λ(t) を用いた、爆発プロファイル近傍における解の洗練されたパrametrization を採用すること。
• 重み付きソボレフ空間における重み付きエネルギー推定と強制性バインディングを用いて、誤差項 ε を制御し、安定性を保証すること。
• 補間および重み付きハーディー不等式を用いて、誤差項 ε に対する点での評価および重み付き L∞ 範囲の評価を導出すること。
• 漸近的解析とブートストラップ論法を適用し、λ(t) の変化が遅く、初期エネルギーが小さいという仮定の下でエネルギー推定を閉じること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元 (d ≥ 11) におけるエネルギー超臨界波動方程式に対して、タイプII爆発解を構成できるか？
• RQ2 このような解の正確な爆発速度とプロファイルは何か？また、整数 ℓ を用いて量子化可能か？
• RQ3 エネルギー超臨界領域においても、爆発がタイプIIのままであり、すべての下臨界ノルムが有界のままであるか？
• RQ4 エネルギー臨界問題に用いられる頑健なエネルギー法を、超臨界領域に拡張し、滑らかでコンパクトに台を持つタイプII爆発解を構成できるか？

主な発見

• 整数 ℓ > α(d,p) > 2 かつ p > p(d) > 1 + 4/(d−2) に対して、ソリトン集中による爆発を示す解のリプシッツ的多様体が余次元 ℓ−1 で存在する。
• 爆発速度は λ(t) ∼ c(T−t)^{ℓ/α} と量子化され、ℓ がレートを決定し、α は d と p に依存する。
• t↑T の際にすべての下臨界ソボレフノルムが有界のままであることが確認され、爆発がタイプIIであることが裏付けられる：limsup_{t↑T} ||∇^s u(t), ∇^{s−1} ∂_t u(t)||_{L^2} < ∞（s < s_c）。
• 解を C^∞ かつコンパクトに台を持つように選べるため、正則な初期データがタイプII爆発を引き起こすことが示された。
• 誤差項 ε に対する鋭い点での評価および重み付き L∞ 評価が分析によって確立され、爆発プロファイル近傍での解の制御に不可欠である。
• この手法により、エネルギー法が超臨界領域に成功裏に拡張され、高次元におけるタイプII爆発解を構成するための新しい枠組みが提供された。