[論文レビュー] Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach

Hugo Daniel Macedo, José N. Oliveira|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Logic, programming, and type systems参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、双積を用いて行列を射として型付けする、インデックスフリーの圏論的アプローチを提案する。これにより、行列乗算やガウスの消去法といった行列アルゴリズムの計算的導出が可能になる。主な貢献は、圏則を用いて行列演算を統一的に扱う、型安全で合成的なフレームワークを提供することであり、MATLABのようなコンピュータ代数システムにおける形式的検証と型チェックを支援する。

ABSTRACT

Interested in formalizing the generation of fast running code for linear algebra applications, the authors show how an index-free, calculational approach to matrix algebra can be developed by regarding matrices as morphisms of a category with biproducts. This shifts the traditional view of matrices as indexed structures to a type-level perspective analogous to that of the pointfree algebra of programming. The derivation of fusion, cancellation and abide laws from the biproduct equations makes it easy to calculate algorithms implementing matrix multiplication, the central operation of matrix algebra, ranging from its divide-and-conquer version to its vectorization implementation. From errant attempts to learn how particular products and coproducts emerge from biproducts, not only blocked matrix algebra is rediscovered but also a way of extending other operations (e.g. Gaussian elimination) blockwise, in a calculational style, is found. The prospect of building biproduct-based type checkers for computer algebra systems such as MatlabTM is also considered.

研究の動機と目的

• インデックスに基づく表記を避けて、圏論に基づく形式的で型安全な線形代数のフレームワークを構築すること。
• 圏則を用いて行列演算（例：乗算、ガウスの消去法）の計算的導出を可能にすること。
• MATLABのようなコンピュータ代数システムの型チェック処理の設計を支援するために、行列を双積圏内の射としてモデル化すること。
• カトリカル構成（例：カトリ＝ラオ積、自己随伴）を用いて、ブロック行列代数とベクトル化技術を統一すること。
• 線形代数に「代数的プログラミング」のパラダイムを拡張し、行列乗算を基本的な合成演算として扱うこと。

提案手法

• 双積を持つ圏における射として行列をモデル化し、行列の型を対象、演算を射として扱う。
• 双積公理から融合、キャンセル、アバイト法則を導出し、行列式に対する等式的推論を可能にする。
• 投影とハダマード積を用いて定義されるカトリ＝ラオ積を、ブロック行列合成のコア演算として用いる。
• ベクトル化とクロネッカー積を、カトリ＝ラオ積と自己随伴を用いて表現し、モノイド構造と関連付ける。
• 特にポイントフリーで計算的な推論を可能にする「代数的プログラミング」の原則を、行列式に適用する。
• 圏的フレームワークを用いて、分割統治型乗算を含む、正しく構築された行列アルゴリズムの実装を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、インデックスを使わずに圏論を用いて行列代数を形式化できるか？
• RQ2 行列の圏における双積構造は、行列演算の計算的法則を導くことができるか？
• RQ3 カトリ＝ラオ積を用いて、ブロック行列代数とベクトル化を一般化できるか？
• RQ4 このフレームワークを用いることで、コンピュータ代数システムにおける型安全性と形式的検証をどの程度達成できるか？
• RQ5 このアプローチは、ガウスの消去法や乗算といった多様な線形代数演算を、一つの合成的パラダイムで統一できるか？

主な発見

• 論文は双積公理から融合、キャンセル、アバイト法則を成功裏に導出し、行列式に対する等式的推論を可能にした。
• カトリ＝ラオ積は、投影とハダマード積を用いた圏論的フォークとして定義され、ブロック行列演算の計算的基盤を提供した。
• クロネッカー積はカトリ＝ラオ積を用いて表現可能であり、両者の深い圏論的関係を示した。
• ベクトル化は自己随伴として形式化され、計算的推論と型安全な実装を可能にするモノイド構造を生じた。
• このフレームワークは、分割統治型行列乗算やブロックごとのガウスの消去法を含む、正しく構築された行列アルゴリズムの導出を可能にした。
• このアプローチは、MATLABのようなコンピュータ代数システムにおける型チェック処理の構築基盤を提供し、実行時の次元エラーを低減した。