[論文レビュー] U-quantile processes and generalized linear statistics of dependent data

Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2010

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、独立データに限られた先行研究を拡張し、弱依存下における一般化線形（GL）統計量の中心極限定理（CLT）および繰り返し対数法則（LIL）を確立する。経験U過程を一般化されたバハドゥール表現を通じて分析することで、U-分位数過程の漸近正規性および関数的法則が導かれ、それらは強混合またはL^1近時刻依存データにおけるGL統計量のCLTおよびLILを直接的に示す。

ABSTRACT

Generalized linear statistics are a unifying class that contains U-statistics, U-quantiles, L-statistics as well as trimmed and winsorized U-statistics. For example, many commonly used estimators of scale fall into this class. GL-statistics only have been studied under independence; in this paper, we establish the central limit theorem (CLT) and the law of the iterated logarithm (LIL) for GL-statistics of sequences which are strongly mixing or L^1 near epoch dependent on an absolutely regular process. We first investigate the empirical U-process. With the help of a generalized Bahadur representation, the CLT and the LIL for the empirical U-quantile process follow. As GL-statistics are linear functionals of the U-quantile process, the CLT and the LIL for GL-statistics are straightforward corollaries.

研究の動機と目的

• 独立データに限られた一般化線形統計量の漸近理論を弱依存列へ拡張すること。
• 特にスケール推定量やトリムム・ウィンザリゼートU統計量に対して、依存下での極限定理の欠如を解消すること。
• 強混合またはL^1近時刻依存過程における一般化線形統計量の中心極限定理（CLT）および繰り返し対数法則（LIL）を確立すること。
• GL統計量の結果への基礎的段階として、U-分位数過程の漸近的分布を導出すること。
• 弱依存下におけるU統計量、U-分位数、L統計量および関連推定量の漸近理論を統一すること。

提案手法

• 著者らは、GL統計量の背後にある核心的確率過程として経験U過程を分析する。
• 経験U-分位数過程を母集団分布関数および誤差と結びつけるために、一般化されたバハドゥール表現を用いる。
• 弱依存構造—特に絶対的正則過程上の強混合またはL^1近時刻依存—を漸近的解析に形式的に組み込む。
• 依存仮定の下で関数的中心極限定理およびモーメントバウンドを用いて、経験U-分位数過程のCLTおよびLILを導出する。
• GL統計量をU-分位数過程の線形汎関数として扱い、極限定理の直接的転送を可能にする。
• マルティンゲール近似および依存配列の弱収束技法を用いて理論的結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎となるデータが独立ではなく弱依存である場合、一般化線形統計量の中心極限定理は成立するか？
• RQ2 強混合またはL^1近時刻依存過程下で、繰り返し対数法則はGL統計量へ拡張可能か？
• RQ3 弱依存下でU-分位数過程に一般化されたバハドゥール表現をどのように適合させ、漸近的解析を可能にするか？
• RQ4 弱依存仮定の下で、経験U-分位数過程の極限分布は何か？
• RQ5 トリムムおよびウィンザリゼートU統計量を含むGL統計量は、弱依存下で漸近的に正規的か？

主な発見

• 強混合またはL^1近時刻依存過程下で、一般化線形統計量の中心極限定理が成立する。
• 同じ弱依存フレームワーク下で、一般化線形統計量の繰り返し対数法則が確立される。
• 指定された依存条件の下で、経験U-分位数過程は関数的中心極限定理を満たす。
• 一般化されたバハドゥール表現により、弱依存データからのU-分位数過程の極限定理の導出が可能になる。
• GL統計量は、線形汎関数形態を通じてU-分位数過程からの漸近正規性および関数的法則を継承する。
• 結果は、U統計量、U-分位数、L統計量および関連推定量の漸近理論を弱依存データへ統一的かつ拡張的に展開する。