[論文レビュー] UC hierarchy and monodromy preserving deformation

Teruhisa Tsuda|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正負の時間発展を有する無限次元可積分系であるUC階層と、類似還元を介して有限次元のモノドロミー保存変形の間の直接的な関係を確立する。Schlesinger系、特にGarnier系および6番目のPainlevé方程式がUC階層の還元として得られ、それらが多項式ハミルトニアンを有する正準ハミルトニアン系として提示される。

ABSTRACT

The UC hierarchy is an extension of the KP hierarchy, which possesses not only an infinite set of positive time evolutions but also that of negative ones. Through a similarity reduction we derive from the UC hierarchy a class of the Schlesinger systems including the Garnier system and the sixth Painleve equation, which describes the monodromy preserving deformations of Fuchsian linear differential equations with certain spectral types. We also present a unified formulation of the above Schlesinger systems as a canonical Hamiltonian system whose Hamiltonian functions are polynomials in the canonical variables.

研究の動機と目的

• 無限次元可積分系（UC階層）と有限次元の等モノドロミー系との間の関係を確立すること。
• UC階層の類似還元がモノドロミー保存変形を記述するSchlesinger系を生じることを示すこと。
• これらの系を多項式ハミルトニアンを有する統一的正準ハミルトニアン形式で提示すること。
• UC階層の枠組みを用いて、既知の6番目のPainlevé方程式およびGarnier系のハミルトニアン構造を一般化すること。

提案手法

• 正負の時間発展を有するKP階層の拡張として定義されたUC階層（頂点作用素を含む双線形方程式によって記述）を用いる。
• Fuchs型方程式のモノドロミー保存変形を記述する有限次元系を得るために、UC階層に類似還元を適用する。
• UC階層の斉次多項式解としての普遍的特性 $ S_{[λ,μ]} $（変形ヤコビ＝トゥルーデ型の行列式）を用いる。
• 正準変数 $ (q_n^{(i)}, p_n^{(i)}) $ における多項式としてハミルトニアンを表現することにより、得られたSchlesinger系の正準ハミルトニアン構造を導出する。
• 異なるハミルトニアン形式間の明示的正準変換を構成し、$ L=2 $ の場合に標準的な多項式ハミルトニアンが回復されることを示す。
• Lax形式および有理的対称性（例：$ \varphi $, $ \pi $, $ \rho $）を用いて、還元系の構造と対称性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 UC階層を用いて、Garnier系や6番目のPainlevé方程式のようなモノドロミー保存変形系をどのように生成できるか。
• RQ2 UC階層から得られるSchlesinger系の正準ハミルトニアン構造は何か。
• RQ3 還元系における多項式ハミルトニアンは、既知のPainlevé VIおよびGarnier系のハミルトニアン形式とどのように関係するか。
• RQ4 有理的対称性および正準変換は、同じ系の異なるハミルトニアン実現をどのように関連付けるか。
• RQ5 普遍的特性 $ S_{[λ,μ]} $ は、モノドロミー保存系の全クラスの生成関数として機能できるか。

主な発見

• UC階層の類似還元により、Garnier系および6番目のPainlevé方程式を含む広範なSchlesinger系が得られ、それらはモノドロミー保存変形方程式として実現される。
• 得られた系は、正準変数 $ (q_n^{(i)}, p_n^{(i)}) $ における多項式として記述されるハミルトニアン関数を有する正準ハミルトニアン系として定式化され、可積分性が裏付けられる。
• $ L=2 $ の場合、導出されたハミルトニアン系は、$ R_{ij} $, $ S_{ij} $, および $ \kappa_1 $ を含む明示的表現を持つ、Garnier系の標準的多項式ハミルトニアン形式と一致する。
• 正準変換 $ \varphi $（$ N=1 $ の場合にのみ有効）は、ハミルトニアンの多項式形を保存する有理的対称性を提供し、より深い構造的対称性を明らかにする。
• 多項式ハミルトニアンは明示的に構成され、文献に既知の形式と同等であることが示され、統一的枠組みの妥当性が裏付けられる。
• この構成全体は、UC階層の斉次多項式解 $ S_{[λ,μ]} $ に裏打ちされており、それによって還元系の生成関数として機能する。