[論文レビュー] Ultimate Boundedness for Switched Systems with Multiple Equilibria Under Disturbances

Sushant Veer, Ioannis Poulakakis|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2018

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、外部の摂動下における複数の均衡を持つスイッチング型離散および連続系に対して、最終的有界性を確立している。各サブシステムが入出力安定性（ISS）を満たし、スイッチングが平均停留時間制約に従う場合、解は摂動の大きさに比例して単調に増加するコンパクト集合内に最終的に有界に保たれることを示している。本結果は、共通の均衡を持つスイッチング系に対する古典的ISS理論を一般化するものである。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the robustness to external disturbances of switched discrete and continuous systems with multiple equilibria. It is shown that if each subsystem of the switched system is Input-to-State Stable (ISS), then under switching signals that satisfy an average dwell-time bound, the solutions are ultimately bounded within a compact set. Furthermore, the size of this set varies monotonically with the supremum norm of the disturbance signal. It is observed that when the subsystems share a common equilibrium, ISS is recovered for solutions of the corresponding switched system; hence, the results in this paper are a natural generalization of classical results in switched systems that exhibit a common equilibrium. Additionally, we provide a method to analytically compute the average dwell time if each subsystem possesses a quadratic ISS-Lyapunov function. Our motivation for studying this class of switched systems arises from certain motion planning problems in robotics, where primitive motions, each corresponding to an equilibrium point of a dynamical system, must be composed to realize a task. However, the results are relevant to a much broader class of applications, in which composition of different modes of behavior is required.

研究の動機と目的

• 外部の摂動下における複数の均衡を持つスイッチング系のロバストネスを分析すること。
• サブシステムが共通の均衡を持たないスイッチング系に対して、入出力安定性（ISS）理論を拡張すること。
• スイッチングと摂動が存在する中で解が最終的に有界に保たれる条件を確立すること。
• 各サブシステムに二次のISS-ラプラス関数が存在する場合、平均停留時間の解析的計算を可能にするものであること。
• ロボット工学における運動計画を支援し、異なる動的行動（例：歩行プリミティブ）のロバストな合成を可能にすること。

提案手法

• 個々のサブシステムに対する入出力安定性（ISS）を出発点とし、摂動下におけるスイッチング系の挙動を分析する。
• 異なる均衡を持つサブシステム間をスイッチングする際の全体的な安定性を保証するため、平均停留時間スイッチング信号を適用する。
• スイッチング時に増加する可能性があるが、平均停留時間制約のもとで全体として減少する複数のラプラス関数を用いる。
• 各サブシステムの均衡からの状態偏差の上界を導出し、初期条件および摂動の大きさに依存することを示す。
• 各サブシステムに二次のISS-ラプラス関数が存在する場合、平均停留時間を解析的に計算する手法を導入する。
• クラス-𝐾∞およびクラス-𝐾𝐿関数を用いて、最終的有界性および一時的な減衰挙動を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の均衡を持つスイッチング系が外部摂動下で最終的に有界に保たれるためのスイッチング条件は何か？
• RQ2 サブシステムが共通の均衡を持たないスイッチング系において、入出力安定性（ISS）は保持可能か？
• RQ3 このような系において、最終的有界性の大きさは摂動の大きさにどのように依存するか？
• RQ4 二次のISS-ラプラス関数を持つ系に対して、平均停留時間制約を解析的に計算可能か？
• RQ5 スイッチング信号と全体的なシステム挙動のロバストネスとの関係は何か？

主な発見

• 各サブシステムがISSであり、スイッチング信号が平均停留時間の境界を満たす限り、スイッチング系の解はコンパクト集合内に最終的に有界に保たれる。
• 最終的有界性の大きさは、摂動信号のノルムの上界に単調に依存して増加する。
• すべてのサブシステムが共通の均衡を持つ場合、システムは完全なISSに回復し、本結果が共通均衡を持つスイッチング系に対する古典的ISS理論を一般化していることが示される。
• 各サブシステムに二次のISS-ラプラス関数が存在する場合、平均停留時間の解析的表現が得られる。
• 最終的有界性は、それぞれのサブシステムの均衡からの初期偏差に依存し、クラス-𝐾∞関数を介して摂動の大きさに比例して増加する。
• 状態偏差の一時的減衰はクラス-𝐾𝐿関数によって特徴付けられ、最終的に最終的有界性に漸近的に収束することを保証する。