[論文レビュー] Unambiguous State Discrimination of two density matrices in Quantum Information Theory

Philippe Raynal|ArXiv.org|Nov 12, 2006

Quantum Information and Cryptography参考文献 41被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、2つの一般混合量子状態の明確な状態判別（USD）の正確な解析解を提示し、問題を2r次元ヒルベルト空間内での等ランク密度行列に帰着させる。不正解確率のより厳しい下界を量子フィデリティを用いて導出し、最適性の必要十分条件を特定することで、純粋状態への還元にとどまらない、4次元ヒルベルト空間内での幾何学的均等な混合状態（例：コherent状態を用いたBB84 QKDプロトコル）に対しても正確な解を得ることが可能になる。

ABSTRACT

In this thesis we study the problem of unambiguously discriminating two mixed quantum states. We first present reduction theorems for optimal unambiguous discrimination of two generic density matrices. We show that this problem can be reduced to that of two density matrices that have the same rank $r$ in a 2$r$-dimensional Hilbert space. These reduction theorems also allow us to reduce USD problems to simpler ones for which the solution might be known. As an application, we consider the unambiguous comparison of $n$ linearly independent pure states with a simple symmetry. Moreover, lower bounds on the optimal failure probability have been derived. For two mixed states they are given in terms of the fidelity. Here we give tighter bounds as well as necessary and sufficient conditions for two mixed states to reach these bounds. We also construct the corresponding optimal measurement. With this result, we provide analytical solutions for unambiguously discriminating a class of generic mixed states. This goes beyond known results which are all reducible to some pure state case. We however show that examples exist where the bounds cannot be reached. Next, we derive properties on the rank and the spectrum of an optimal USD measurement. This finally leads to a second class of exact solutions. Indeed we present the optimal failure probability as well as the optimal measurement for unambiguously discriminating any pair of geometrically uniform mixed states in four dimensions. This class of problems includes for example the discrimination of both the basis and the bit value mixed states in the BB84 QKD protocol with coherent states.

研究の動機と目的

• 2つの一般混合量子状態に対する最適な明確な状態判別問題を解くこと。この問題に対しては、以前には完全な解が得られていなかった。
• 2つの任意の混合状態に対する一般USD問題を、次元を低くしたヒルベルト空間内での等ランクの密度行列を含むより単純な同値問題に還元すること。
• 2つの混合状態のUSDにおける不正解確率のより厳しい下界を導出し、既存のフィデリティに基づく下界を改善すること。
• これらの下界が達成可能であるための必要十分条件を同定し、解析的解を得ることを可能にすること。
• 特に4次元ヒルベルト空間内での幾何学的均等な状態を含む特定のクラスの混合状態に対して、明示的な最適測定を構築すること。

提案手法

• 任意の2つの混合状態に対するUSD問題を、2r次元ヒルベルト空間内での等ランクrの2つの密度行列を含む同値問題に写像する還元定理を構築する。
• 重複する補空間、直交部分空間、およびブロック対角構造を用いて、USD問題の標準形を導入し、解析を簡素化する。
• 不正解確率の下界を導出するために、演算子の並列加法（$ \rho_0 \Sigma^{-1} \rho_1 $）の概念を適用する。
• 作用素トレース空間における極分解とコーシー・シュワルツの不等式を用い、最適性の必要十分条件を導出する。
• 最適POVM要素のランクと固有値スペクトルを特徴づけ、正確な解に必要な構造的制約を同定する。
• 対称性と固有値スペクトルの性質を活用して、4次元ヒルベルト空間内での幾何学的均等な混合状態に対する明示的な最適測定を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの任意の混合量子状態の最適な明確な状態判別問題は、より単純な同値問題に還元可能か？
• RQ2 2つの混合状態の明確な状態判別における不正解確率のより厳しい下界は何か？ そして、それらはいつ達成可能か？
• RQ3 2つの混合状態が、既知の最も厳しい不正解確率の下界に到達するための必要十分条件は何か？
• RQ4 純粋状態への還元にとどまらないクラスの混合状態に対し、正確な解析的解を導出可能か？
• RQ5 4次元ヒルベルト空間内での幾何学的均等な混合状態に対する最適POVMの構造は何か？

主な発見

• 2つの一般混合状態に対するUSD問題は、2r次元ヒルベルト空間内での等ランクrの2つの密度行列を含む同値問題に還元可能である。
• フィデリティを用いて不正解確率のより厳しい下界を導出し、その下界が達成可能であるための必要十分条件を特定した。
• 純粋状態への還元にとどまらない、一般混合状態のクラスに対する解析的解を提供した。
• 理論的な不正解確率の下界が達成できない例を提示し、下界の限界を示した。
• 4次元ヒルベルト空間内での幾何学的均等な混合状態に対する第二の正確な解を導出した。これは、コherent状態を用いたBB84 QKDプロトコルに該当する状況を含む。
• 幾何学的均等な状態に対して、最適測定演算子を明示的に構築し、そのランクと固有値スペクトルを完全に特徴づけた。