[論文レビュー] Unbounded Fredholm modules and double operator integrals

Denis Potapov, Fedor Sukochev|ArXiv.org|Aug 21, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、半有限非可換幾何における、写像 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ に対する交換子評価と連続的微分可能性を確立する。$ (1+D_0^2)^{-1/2} \in \mathcal{E} $ かつ $ D - D_0 \in \mathcal{M} $ であるとき、$ \|f(D) - f(D_0)\|_{\mathcal{E}} \leq C \|D - D_0\|_{\mathcal{M}} $ が成り立つ。この結果により、有界なフレドホルムモジュール $ F_D $ は $ \mathcal{E} $-和分可能性を保ち、写像は連続的微分可能であることが保証され、スペクトルフロー理論における従来の技術的仮定が不要になる。

ABSTRACT

In noncommutative geometry one is interested in invariants such as the Fredholm index or spectral flow and their calculation using cyclic cocycles. A variety of formulae have been established under side conditions called summability constraints. These can be formulated in two ways, either for spectral triples or for bounded Fredholm modules. We study the relationship between these by proving various properties of the map on unbounded self adjoint operators $D$ given by $f(D)=D(1+D^2)^{-1/2}$. In particular we prove commutator estimates which are needed for the bounded case. In fact our methods work in the setting of semifinite noncommutative geometry where one has $D$ as an unbounded self adjoint linear operator affiliated with a semi-finite von Neumann algebra $\aM$. More precisely we show that for a pair $D,D_0$ of such operators with $D-D_0$ a bounded self-adjoint linear operator from $\aM$ and $ ({\bf 1}+D_0^2)^{-1/2}\in \sE$, where $\sE$ is a noncommutative symmetric space associated with $\aM$, then $$ \Vert f(D) - f (D_0) \Vert_{\sE} \leq C\cdot \Vert D-D_0\Vert_{\aM}. $$ This result is further used to show continuous differentiability of the mapping between an odd $\sE$-summable spectral triple and its bounded counterpart.

研究の動機と目的

• 半有限フォン・ノイマン代数の文脈において、写像 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ に対する交換子評価を確立すること。
• $ (1+D^2)^{-1/2} $ の $ \mathcal{E} $-和分可能性が、有界フレドホルムモジュール $ F_D $ の $ \mathcal{E} $-和分可能性を示すこと。
• $ \mathcal{M} $ 内の有界自己随伴摂動のアフィン空間上で、写像 $ D \mapsto F_D $ が連続的微分可能であることを証明すること。
• 非有界から有界フレドホルムモジュールへの写像の滑らかさを確立することで、スペクトルフロー理論における従来の技術的仮定を排除すること。

提案手法

• 著者らは、非有界自己随伴作用素 $ D $ における関数 $ f(t) = t / \sqrt{1 + t^2} $ を分析し、$ F_D = f(D) $ を定義する。
• 関数計算を用いた二重作用素積分と作用素 $ T_{\psi_f}(D, D_0) $ を用いて、差 $ f(D) - f(D_0) $ を表現する。
• 主要な評価は、非可換対称空間 $ \mathcal{E} $ における一般化されたホルダー不等式に依拠し、$ \|T_{\psi_f}(D, D_0)\|_{B(\mathcal{L}^\infty, \mathcal{E})} \leq c $ のような有界性を示す。
• 微分可能性の証明には、導関数の分解 $ \frac{dF_t}{dt} = T_{\psi_f}(D_t, D_t) \frac{dD_t}{dt} $ を用い、$ \mathcal{E} $-ノルムにおける収束を示す。
• 導関数の連続性は、差 $ \frac{dF_t}{dt}(s) - \frac{dF_t}{dt}(0) $ を三つの項に分割し、それぞれが $ s \to 0 $ のとき $ \mathcal{E} $-ノルムで消えることによって示す。
• 解析は、正常で忠実なトレース的重み $ \tau $ を持つ半有限フォン・ノイマン代数の枠組み内で行われ、$ \mathcal{E} $ は $ \tau $-可測作用素の非可換対称空間である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半有限非可換幾何において、写像 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ が $ \mathcal{E} $-和分可能性を保つのはどのような条件下か？
• RQ2 シュャンン空間やディクシエ・アイディアルに制限しない範囲で、交換子評価 $ \|[F_D, a]\|_{\mathcal{E}} \leq c \|[D, a]\| $ を確立できるか？
• RQ3 一般の $ \mathcal{E} $-和分可能性条件の下で、非有界から有界フレドホルムモジュールへの写像が連続的微分可能であるか？
• RQ4 関数 $ f(D) $ の作用素的微分可能性は、非有界自己随伴作用素の経路に沿ったスペクトルフローとどのように関係するか？
• RQ5 本フレームワークを用いることで、スペクトルフロー理論における $ D_0 $ や経路 $ D_t $ に対する技術的仮定を排除できるか？

主な発見

• $ D, D_0 $ が自己随伴で $ D - D_0 \in \mathcal{M} $ であるとき、$ (1+D_0^2)^{-1/2} \in \mathcal{E} $ ならば、写像 $ D \mapsto F_D = D(1+D^2)^{-1/2} $ は評価 $ \|f(D) - f(D_0)\|_{\mathcal{E}} \leq C \|D - D_0\|_{\mathcal{M}} $ を満たす。
• $ (1+D^2)^{-1/2} \in \mathcal{E} $ ならば、有界フレドホルムモジュール $ F_D $ は $ \mathcal{E} $-和分可能であり、$ [D, a] \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) $ であることから $ [F_D, a] \in \mathcal{E} $ が従う。
• $ D_0 $ の有界自己随伴摂動のアフィン空間上で、写像 $ D \mapsto F_D $ は連続的微分可能であり、その導関数は $ \frac{dF_t}{dt} = T_{\psi_f}(D_t, D_t) \frac{dD_t}{dt} $ で与えられる。
• $ \frac{dD_t}{dt} $ が作用素ノルムで連続である限り、導関数 $ \frac{dF_t}{dt} $ は $ \mathcal{E} $-ノルムで連続である。
• 従来の技術的仮定が不要となり、一般の $ \mathcal{E} $-和分可能性条件の下で写像の滑らかさが確立された。
• 証明は二重作用素積分技術と非可換対称空間における一般化されたホルダー不等式に依拠し、作用素 $ T_{\psi_f} $ に対する一様有界性が得られている。