[論文レビュー] Unbounded order convergence in dual spaces

Niushan Gao|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バナッハラティスの双対空間における無限順序（uo）収束を調査し、$X^*$ 内のノルム有界な uo 収束ネットが、$X$ が順序連続ノルムを持つときかつそのときに限り $w^*$ 収束することを確立する。さらに、$w^*$ 収束ネットが uo 収束する条件は $X$ が順序連続ノルムを有する原子的空間であることと一致し、uo 収束と $w^*$ 収束が同時に成立する場合に弱収束またはノルム収束が成立する条件を同定する。

ABSTRACT

A net $(x_α)$ in a vector lattice $X$ is said to be {unbounded order convergent} (or uo-convergent, for short) to $x\in X$ if the net $(\abs{x_α-x}\wedge y)$ converges to 0 in order for all $y\in X_+$. In this paper, we study unbounded order convergence in dual spaces of Banach lattices. Let $X$ be a Banach lattice. We prove that every norm bounded uo-convergent net in $X^*$ is $w^*$-convergent iff $X$ has order continuous norm, and that every $w^*$-convergent net in $X^*$ is uo-convergent iff $X$ is atomic with order continuous norm. We also characterize among $σ$-order complete Banach lattices the spaces in whose dual space every simultaneously uo- and $w^*$-convergent sequence converges weakly/in norm.

研究の動機と目的

• ノルム有界ネットに対して、$X^*$ 内の uo 収束が $w^*$ 収束を意味するようなバナッハラティス $X$ を特徴づけること。
• 特に原子的かつ順序連続ノルムの設定下で、$X^*$ 内の $w^*$ 収束が uo 収束を意味する条件を同定すること。
• $X^*$ 内で uo 収束と $w^*$ 収束が同時に成立する場合に弱収束またはノルム収束が成立する条件を特定すること。特に $\sigma$-順序完備空間に焦点を当てる。
• uo 収束が、特に双対性と収束の相互作用を通じて、バナッハラティスの幾何的性質を研究するための道具として果たす役割を探索すること。

提案手法

• uo 収束の定義を用いる：$x_\alpha \xrightarrow{uo} x$ とは、すべての $y \in X_+$ に対して $|x_\alpha - x| \wedge y \xrightarrow{o} 0$ となること。
• 原子的および $\sigma$-順序完備ベクトルラティスにおける不交和列とその uo 収束に関する既知の結果を適用する。
• 正のグラスマン多様体性と双対正のシュール性質を用いて、$X^*$ 内での $w^*$-零性とノルム零性の関係を確立する。
• 順序連続性と原子的性の下で、$X^*$ 内での $w^*$ 収束と uo 収束の同値性を活用する。
• 「$X^*$ が順序連続ノルムを有する」ことと「$X$ が順序連続ノルムを有する」ことが同値であることを利用し、証明においてディニの定理とグロテンディークの定理を適用する。
• 埋め込み定理（例：$\mathbb{R}^A$ への）とイデアル論理を用いて、問題を関数ラティスにおける点ごとの収束に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X^*$ 内のノルム有界ネットの uo 収束が $w^*$ 収束を意味するのは、どのような場合か？
• RQ2 $X^*$ 内の $w^*$ 収束が uo 収束を意味するのは、どのような場合か？
• RQ3 $X$ にどのような条件が課されると、$X^*$ 内の uo 収束と $w^*$ 収束が同時に成立する列が弱収束またはノルム収束するか？
• RQ4 uo 収束は、$X^*$ 内で、弱凸性や正のグラスマン多様体性といった幾何的性質とどのように関係するか？
• RQ5 $\sigma$-順序完備性は、$X^*$ 内の収束タイプの同値性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• ノルム有界ネット $(x_\alpha^*)$ が $X^*$ 内で uo 収束するとき、$w^*$ 収束するための必要十分条件は、$X$ が順序連続ノルムを有することである。
• $X^*$ 内の $w^*$ 収束ネットが uo 収束するための必要十分条件は、$X$ が順序連続ノルムを有する原子的空間であることである。
• $\sigma$-順序完備な $X$ に対して、$X^*$ 内の列が uo 収束と $w^*$ 収束を同時に満たすとき、ノルム収束するための必要十分条件は、$X$ が双対正のシュール性を持つことである。
• 順序連続バナッハラティスにおいて、$X^*$ 内のノルム有界ネットが uo 収束と $w^*$ 収束を同時に満たすとき、弱収束するための必要十分条件は、$X$ が正のグラスマン多様体性を持つことである。
• 順序連続性の下で、$X$ の正のグラスマン多様体性は、$X$ の弱凸性と同値である。
• uo 収束を用いた双対性と収束の相互作用を通じて、順序連続バナッハラティスにおける正のグラスマン多様体性と弱凸性の同値性が示され、新たな証明技法が得られる。