[論文レビュー] Uncertainty principle, minimal escape velocities and observability inequalities for schrödinger equations

Shanlin Huang, Avy Soffer|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般の自己共役ハミルトニアンに対するシュレーディンガー方程式の2時刻における観測可能性不等式を、ナザロフ型不確実性原理と最小速度推定に基づく抽象的枠組みを用いて確立する。主な貢献は、スペクトル局在、波動の伝播速度、観測可能性の間の定量的関係を特定することであり、自由ラプラシアンからの結果の拡張として、ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素や分数ラプラシアンに対しても適用可能である。制御可能性および一意継続性への応用を含む。

ABSTRACT

We develop a new abstract derivation of the observability inequalities at two points in time for Schrödinger type equations. Our approach consists of two steps. In the first step we prove a Nazarov type uncertainty principle associated with a non-negative self-adjoint operator $H$ on $L^2(\mathbb{R}^n)$. In the second step we use results on asymptotic behavior of $e^{-itH}$, in particular, minimal velocity estimates introduced by Sigal and Soffer. Such observability inequalities are closely related to unique continuation problems as well as controllability for the Schrödinger equation.

研究の動機と目的

• 自由シュレーディンガー方程式を超えて、一般の自己共役ハミルトニアン $ H $（ポテンシャルや分数階の作用素を含む）に対する2時刻における観測可能性不等式を拡張すること。
• $ L^2 $-固有関数の存在によってこのような不等式が成立しないことに対処し、$ H $ の連続スペクトル部分空間に制限して解析を行うこと。
• 位相空間における波動の伝播と観測可能性を定量的に評価するため、不確実性原理と最小速度推定を組み合わせた抽象的枠組みを構築すること。
• 時間局在観測に基づくインパulse制御付きシュレーディンガー方程式の制御可能性結果を確立すること。
• スペクトル射影と交換子推定を用いて、ナザロフの不確実性原理を作用素へ一般化すること。

提案手法

• 非負の自己共役作用素 $ H $ に対して、スペクトル射影 $ \chi(|x| \geq r) $ と $ \chi(H \geq r^{-2}) $ を用いて、位置空間と周波数空間に局在化した関数の $ L^2 $ ノルムの関係を示すナザロフ型不確実性原理を導出する。
• シガルとソーファーの最小速度推定を用い、スペクトルがゼロから離れた関数を持つ波パッケージ $ e^{-itH}f $ がコンパクト集合から正の下限速度で遠ざかるようになることを定量的に評価する。$ f $ が連続スペクトル部分空間に属する場合に成立する。
• スペクトル乗数 $ \varphi_N(A) $ に対する交換子推定を適用し、ベルンシュタイン型不等式を用いて、作用素ノルムを $ N^{-3/4} $ の項で有界化することで、スペクトル局在における正則性と減衰を保証する。
• 初期データを2時刻における空間局在 $ L^2 $ ノルムに写像する状態変換 $ R $ と観測作用素 $ O $ を構成し、双対性を用いて観測可能性不等式を導出する。
• 双対性の議論と弱収束を用いて、制御作用素を含む双対不等式から観測可能性不等式を導出し、制御エネルギーの上界を得る。
• この枠組みをポテンシャル $ V $ を有するシュレーディンガー方程式および分数ラプラシアン $ (-\Delta)^{s/2} $ に適用し、時間的・空間的分離条件を満たす場合に制御可能性が成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由な場合を超えて、一般のシュレーディンガー作用素に対して2時刻における観測可能性不等式を確立できるか？
• RQ2 $ L^2 $-固有関数の存在が2時刻観測の推定に与える影響は何か？
• RQ3 $ H $ にどのような抽象的条件を課すと最小脱出速度が保証され、結果として観測可能性が可能になるか？
• RQ4 スペクトル射影を用いて、非フーリエ設定におけるナザロフの不確実性原理をどの程度一般化できるか？
• RQ5 インパulse駆動のシュレーディンガー方程式の制御可能性に必要な最小の時間的・空間的分離条件は何か？

主な発見

• 一般のシュレーディンガー方程式に対して観測可能性不等式が確立された：$ \|u_0\|_{L^2}^2 \leq C e^{C r_1 r_2 / (t_2 - t_1)} \left( \int_{|x| \geq r_1} |u(x,t_1)|^2 dx + \int_{|x| \geq r_2} |u(x,t_2)|^2 dx \right) $、ただし $ C $ は次元 $ n $ のみに依存する。
• 初期データが $ H $ の $ L^2 $-固有空間に属する場合には不等式が成立しないため、連続スペクトル部分空間に制限する必要がある。
• 最小速度推定により、スペクトル台がゼロから離れた関数 $ f \in \text{Ran}(\chi(H \geq \delta)) $ を持つ波パッケージ $ e^{-itH}f $ は、正の下限速度 $ v_{\min} \geq \sqrt{\delta} $ で外側へ移動することが保証される。
• $ H = (-\Delta)^{s/2} $ である分数シュレーディンガー方程式に対して、$ s \geq 1 $ の場合、$ \tau_2 - \tau_1 > r^s T_0 $ かつ十分大きな $ T_0 $ を満たすならば、2つのインパルス制御により制御可能性が達成される。
• 制御エネルギーは $ \|h_1\|^2 + \|h_2\|^2 \leq C \|u_T - e^{-itH}u_0\|^2 $ を満たし、制御コストが目標状態までの距離によって有界であることが示される。
• 交換子推定により $ \| [\varphi_N(A), B] \| \leq C M_{AB} N^{-3/4} $ が得られ、これは不確実性原理枠組みにおけるスペクトル乗数の誤差を抑えるために重要である。